命題人：高二數(shù)學(xué)備課組
　　(考試時間：2015年1月　15日　　)滿分：100分(必考試卷Ⅰ)　　　　50分(必考試卷Ⅱ)
　　時量：120分鐘
　　得分：　　　　　　　
　　
　　必考試卷Ⅰ
　　一、：本大題共7小題，每小題5分，共35分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
　　1.復(fù)數(shù)i＋i2在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在
　　
　　A.第一象限
　　B.第二象限
　　C.第三象限
　　D.第四象限
　　2.設(shè)x∈R，則x>e的一個必要不充分條件是
　　A.x>1 B.x<1
　　C.x>3 D.x<3
　　3.若f(x)＝2cos α－sin x，則f′(α)等于
　　A.－sin α
　　B.－cos α
　　C.－2sin α－cos α
　　D.－3cos α
　　4.下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是
　�、賨1，z2不能比較大�。虎谔摂�(shù)不能比較大�。虎踷1，z2是虛數(shù).
　　A.①②③ B.②①③
　　C.②③① D.③②①
　　5.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a與b的夾角為60°，則λ的值為
　　A.17或－1 B.－17或1
　　C.－1 D.1
　　6.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a>5)的兩個焦點(diǎn)，且F1F2＝8，弦AB過點(diǎn)F1，則△ABF2的周長為
　　A.10
　　B.20
　　C.2
　　D.4
　　7.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－2)f′(x)≤0，則必有
　　A.f(－3)＋f(3)<2f(2)
　　B.f(－3)＋f(7)>2f(2)
　　C.f(－3)＋f(3)≤2f(2)
　　D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)
　　二、題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上.
　　8.復(fù)數(shù)10的值是　　　　　　.
　　9.用反證法證明命題：“若x，y>0，且x＋y>2，則，中至少有一個小于2”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為　　　　　　　　　　　　　　.
　　10.已知等差數(shù)列{an}中，有＝成立.類似地，在等比數(shù)列{bn}中，有　　　　　　　　　　　　　成立.
　　11.曲線y＝sin x在[0，π]上與x軸所圍成的平面圖形的面積為　.
　　12.已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c的值為　　　　　.
　　13.正整數(shù)按下列方法分組：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，記第n組中各數(shù)之和為An；由自然數(shù)的立方構(gòu)成下列數(shù)組：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為Bn，則An＋Bn＝　　　　　.
　　三、解答題：本大題共3小題，共35分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
　　14.(本小題滿分11分)
　　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，試判斷f(x)在區(qū)間[－4，5]上的單調(diào)性，并求出f(x)在區(qū)間[－4，5]上的最值.
　　15.(本小題滿分12分)
　　已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.
　　(1)寫出a1，a2，a3，并推測an的表達(dá)式；
　　(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.
　　
　　
　　16.(本小題滿分12分)
　　如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).
　　(1)證明：AE⊥PD；
　　(2)若H為PD上一點(diǎn)，且AH⊥PD，EH與平面PAD所成角的正切值為，求二面角E－AF－C的余弦值.
　　
　　必考試卷Ⅱ
　　一、：本大題共1個小題，每小題5分，滿分5分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
　　1.定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像如圖，若兩個正數(shù)a，b滿足f(2a＋b)<1，且f(4)＝1，則的取值范圍是
　　
　　A.
　　B.∪(5，＋∞)
　　C.(－∞，3)
　　D.
　　二、題：本大題共1個小題，每小題5分，共5分.請把答案填在答題卷對應(yīng)題號后的橫線上.
　　2.設(shè)函數(shù)f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，則k＝　　　　　.
　　三、解答題：本大題共3小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
　　3.(本小題滿分13分)
　　某電視生產(chǎn)企業(yè)有A、B兩種型號的電視機(jī)參加家電下鄉(xiāng)活動，若企業(yè)投放A、B兩種型號電視機(jī)的價值分別為a、b萬元，則農(nóng)民購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為a、ln(b＋1)萬元(＞0且為常數(shù)).已知該企業(yè)投放總價值為10萬元的A、B兩種型號的電視機(jī)，且A、B兩種型號的投放金額都不低于1萬元.
　　(1)請你選擇自變量，將這次活動中農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼表示為它的函數(shù)，并求其定義域；
　　(2)求當(dāng)投放B型電視機(jī)的金額為多少萬元時，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大？
　　4.(本小題滿分13分)
　　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)與點(diǎn)N.
　　(1)求橢圓C的方程；
　　(2)求?的最小值，并求此時圓T的方程；
　　(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于，N的任意一點(diǎn)，且直線P，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：?為定值.
　　
　　5.(本小題滿分14分)
　　已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.
　　(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
　　(2)設(shè)x>0，討論曲線y＝與直線y＝(>0)公共點(diǎn)的個數(shù)；
　　(3)設(shè)函數(shù)h滿足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，試比較h(e)與的大小.
　　
　　
　　湖南師大附中2015屆高二第一學(xué)期期末考試試題
　　數(shù)學(xué)(理科)參考答案
　　必考試卷Ⅰ
　　又∵函數(shù)f(x)在[－4,5]上連續(xù).
　　∴f(x)在(－3,3)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(－4，－3)和(3,5)上是單調(diào)遞增函數(shù).(9分)
　　∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)
　　15.解：(1)a1＝，a2＝，a3＝，….猜測an＝2－(5分)
　　(2)①由(1)已得當(dāng)n＝1時，命題成立；(7分)
　�、诩僭O(shè)n＝k時，命題成立，即ak＝2－，(8分)
　　當(dāng)n＝k＋1時，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
　　且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
　　∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，
　　∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，
　　即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立.(11分)
　　根據(jù)①②得n∈N＋時，an＝2－都成立.(12分)
　　16.(1)證明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC為正三角形.
　　因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.
　　又BC∥AD，因此AE⊥AD.
　　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.
　　而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，
　　所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，
　　所以AE⊥PD.(5分)
　　
　　(2)解：因?yàn)锳H⊥PD，
　　由(1)知AE⊥平面PAD，
　　則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.
　　在Rt△EAH中，AE＝，
　　此時tan∠EHA＝＝＝，
　　在Rt△AOE中，EO＝AE?sin 30°＝，AO＝AE?cos 30°＝，
　　又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin 45°＝，
　　又SE＝＝＝，
　　在Rt△ESO中，cos∠ESO＝＝＝，
　　即所求二面角的余弦值為.(12分)
　　解法二：由(1)知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，所以
　　
　　A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，
　　F，
　　所以＝(，0,0)，
　�。�.
　　所以cos〈，〉＝＝＝.
　　因?yàn)槎�面角E－AF－C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.(12分)
　　必考試卷Ⅱ
　　一、選擇題
　　1.D　【解析】由圖像可知f(x)在(－∞，0)遞減，在(0，＋∞)遞增，所以f(2a＋b)<1即2a＋b<4，原題等價于，求的取值范圍.畫出不等式組表示的可行區(qū)域，利用直線斜率的意義可得∈.
　　二、填空題
　　2.－1　【解析】思路分析：按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo)，然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于k的方程求解.
　　f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋k)(x－3k)＋x(x＋k)(x＋2k)
　　故f′(0)＝－6k3，又f′(0)＝6，故k＝－1.
　　三、解答題
　　3.解：(1)設(shè)投放B型電視機(jī)的金額為x萬元，則投放A型電視機(jī)的金額為(10－x)萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼f(x)＝(10－x)＋ln(x＋1)＝ln(x＋1)－＋1，(1≤x≤9).(5分)(沒有指明x范圍的扣1分)
　　(2)f′(x)＝－＝＝，
　　令y′＝0，得x＝10－1(8分)
　　1°　若10－1≤1即0＜≤，則f(x)在[1,9]為減函數(shù)，當(dāng)x＝1時，f(x)有最大值；新課 標(biāo)第 一 網(wǎng)
　　2°　若1＜10－1＜9即<<1，則f(x)在[1,10－1)是增函數(shù)，在(10－1,9]是減函數(shù)，當(dāng)x＝10－1時，f(x)有最大值；
　　3°　若10－1≥9即≥1，則f(x)在[1,9]是增函數(shù)，當(dāng)x＝9時，f(x)有最大值.
　　因此，當(dāng)0＜≤時，投放B型電視機(jī)1萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大.
　　當(dāng)<<1時，投放B型電視機(jī)(10－1)萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大；
　　當(dāng)≥1時，投放B型電視機(jī)9萬元，農(nóng)民得到的總補(bǔ)貼最大.(13分)
　　4.解：(1)依題意，得a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝＝1；
　　故橢圓C的方程為＋y2＝1.(3分)
　　
　　(2)方法一：點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，
　　設(shè)(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨設(shè)y1>0.
　　由于點(diǎn)在橢圓C上，
　　所以y＝1－.(*)(4分)
　　由已知T(－2,0)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，
　　∴?＝(x1＋2，y1)?(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3
　　方法二：點(diǎn)與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，故設(shè)(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，
　　不妨設(shè)sin θ>0，由已知T(－2,0)，則
　　?＝(2cos θ＋2，sin θ)?(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－.(6分)
　　故當(dāng)cos θ＝－時，?取得最小值為－，此時，
　　又點(diǎn)在圓T上，代入圓的方程得到r2＝.
　　故圓T的方程為：(x＋2)2＋y2＝.(8分)
　　(3)方法一：設(shè)P(x0，y0)，則直線P的方程為：
　　y－y0＝(x－x0)，
　　令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)
　　故xR?xS＝(**)(11分)
　　又點(diǎn)與點(diǎn)P在橢圓上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)
　　代入(**)式，得：xR?xS＝＝＝4.
　　所以?＝?＝＝4為定值.(13分)
　　方法二：設(shè)(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨設(shè)sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.則直線P的方程為：y－sin α＝(x－2cos α)，
　　令y＝0，得xR＝，
　　同理：xS＝，(12分)
　　故xR?xS＝＝＝4.
　　所以?＝?＝＝4為定值.(13分)
　　5.解：(1)f的反函數(shù)g(x)＝ln x.設(shè)直線y＝kx＋1與g(x)＝ln x相切于點(diǎn)P(x0，y0)，則⇒x0＝e2，k＝e－2.所以k＝e－2.(3分)
　　(2)當(dāng)x>0，>0時，曲線y＝f(x)與曲線y＝x2(>0)的公共點(diǎn)個數(shù)
　　即方程f(x)＝x2根的個數(shù).
　　由f(x)＝x2⇒＝，令v(x)＝⇒v′(x)＝，
　　則v(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，這時v(x)∈(v(2)，＋∞)；
　　v(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，這時v(x)∈(v(2)，＋∞).v(2)＝.
　　v(2)是y＝v(x)的極小值，也是最小值.(5分)
　　所以對曲線y＝f(x)與曲線y＝x2(>0)公共點(diǎn)的個數(shù)，討論如下：
　　當(dāng)∈時，有0個公共點(diǎn)；
　　當(dāng)＝時，有1個公共點(diǎn)；
　　當(dāng)∈時有2個公共點(diǎn)；(8分)
　　(3)令F(x)＝x2h(x)，則F′(x)＝x2h′(x)＋2xh＝
　　所以h＝，故h′＝＝＝
　　令G(x)＝ex－2F(x)，則G′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2?＝
　　顯然，當(dāng)0<x<2時，G′(x)<0，G(x)單調(diào)遞減；
　　當(dāng)x>2時，G′(x)>0，G(x)單調(diào)遞增；
　　所以，在(0，＋∞)范圍內(nèi)，G(x)在x＝2處取得最小值G(2)＝0.
　　即x>0時，ex－2F(x)≥0.
　　故在(0，＋∞)內(nèi)，h′(x)≥0，
　　所以h(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，
　　又因?yàn)閔(2)＝＝>，h(2)<h(e)
　　所以h(e)>.(14分)


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