2． 1．2離散型隨機變量的分布列
目標：
知識與技能：會求出某些簡單的離散型隨機變量的概率分布。
過程與方法：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。
情感、態(tài)度與價值觀：認識概率分布對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性。
重點：離散型隨機變量的分布列的概念
教學(xué)難點：求簡單的離散型隨機變量的分布列
授類型：新授
時安排：2時
教 具：多媒體、實物投影儀
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)引入：
1.隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示
2. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量
3．連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量
4.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用 變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出
若 是隨機變量， 是常數(shù)，則 也是隨機變量 并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）
請同學(xué)們閱讀本P5-6的內(nèi)容，說明什么是隨機變量的分布列？
二、講解新：
1. 分布列:設(shè)離散型隨機變量ξ可能取得值為
x1，x2，…，x3，…，
ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為 ，則稱表
ξx1x2…xi…
PP1P2…Pi…
為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列
2. 分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機事發(fā)生的概率都滿足: ，并且不可能事的概率為0，必然事的概率為1．由此你可以得出離散型隨 機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：
⑴Pi≥0，i＝1，2，…；
⑵P1 +P2+…=1．
對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和 即
3.兩點分布列:
例1.在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令

如果針尖向上的概率為 ，試寫出隨機變量 X 的分布列．
解：根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是（ ) ．于是，隨機變量 X 的分布列 是
ξ01
P

像上面這樣的分布列稱為兩點分布列．
兩點分布列的應(yīng)用非常廣泛．如抽取的彩券是否中獎；買回的一產(chǎn)品是否為正品；新 生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點分布列研究．如果隨機變量X的分布列為兩點分布列，就稱X服從兩點分布 ( two一point distribution)，而稱 =P (X = 1）為成功概率．
兩點分布又稱0一1分布．由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫伯努利（ Bernoulli ) 試驗，所以還稱這種分布為伯努利分布．
，
，
， ．
4. 超幾何分布列：
例 2．在含有 5 次品的 100 產(chǎn)品中，任取 3 ，試求：
(1)取到的次品數(shù)X 的分布列；
（2）至少取到1次品的概率．
解： (1)由于從 100 產(chǎn)品中任取3 的結(jié)果數(shù)為 ，從100 產(chǎn)品中任取3，
其中恰有k 次品的結(jié)果數(shù)為 ，那么從 100 產(chǎn)品中任取 3 ，其中恰有 k 次品的概率為
。
所以隨機變量 X 的分布列是

X0123
P

(2)根據(jù)隨機變量X 的分布列，可得至少取到 1 次品的概率
P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )
≈0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006
= 0. 144 00 .
一般地，在含有 次品的 N 產(chǎn)品中，任取 n ，其中恰有X次品數(shù)，則事 {X=k｝發(fā)生的概率為
,
其中 ，且 ．稱分布 列
X01…

P

為超幾何分布列．如果隨機變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量 X 服從超幾何分布（ hypergeometriC distribution ) .
例 3．在某年級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎 游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎．求中獎的概率．
解：設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中 N = 30 , =10, n=5 ．于是中獎的概率
P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）十 P ( X = 5 )
= ≈0.191.
思 考：如果要將這個游戲的中獎率控制在55%左右，那么應(yīng)該如何設(shè)計中獎規(guī)則？

　例4.已知一批產(chǎn)品共 ，其中 是次品，從中任取 ，試求這 產(chǎn)品中所含次品數(shù) 的分布律。
　　解 顯然，取得的次品數(shù) 只能是不大于 與 最小者的非負整數(shù)，即 的可能取值為：0，1，…， ，由古典概型知
　　
　　此時稱 服從參數(shù)為 的超幾何分布。
　　注 超幾何分布的上述模型中，“任取 ”應(yīng)理解為“不放回地一次取一，連續(xù)取 ”.如果是有放回地抽取，就變成了 重貝努利試驗，這時概率分布就是二項分布.所以兩個分布的區(qū)別就在于是不放回地抽樣，還是有放回地抽樣.若產(chǎn)品總數(shù) 很大時，那么不放回抽樣可以近似地看成有放回抽樣.因此，當 時，超幾何分布的極限分布就是二項分布，即有如下定理.
　　定理 如果當 時， ，那么當 時（ 不變），則
　　 。
　　由于普阿松分布又是二項分布的極限分布，于是有：
超幾何分布 二項分布 普阿松分布.
例5．一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個數(shù)是綠球個數(shù)的兩倍，黃球個數(shù)是綠球個數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機取出一個球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出一球所得分數(shù)ξ的分布列．
分析：欲寫出ξ的分布列，要先求出ξ的所 有取值，以及ξ取每一值時的概率．
解：設(shè)黃球的個數(shù)為n，由題意知
　　綠球個數(shù)為2n，紅球個數(shù)為4n，盒中的總數(shù)為7n．
　∴　 ， ， ．
　　　　所以從該盒中隨機取出一球所得分數(shù)ξ的分布列為
ξ10－1

說明：在寫出ξ的分布列后，要及時檢查所有的概率之和是否為1．
例6．某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：
ξ45678910
P0.020.040.060.090.280.290.22
求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．
　　分析：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根據(jù)互斥事的概率加法公式，可以求得此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．
解：根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列，有
　　　P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率為 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
四、堂練習(xí)：
某一射手射擊所得環(huán)數(shù) 分布列為
45678910
P0．020．040．060．090．280．290．22
求此射手“射擊一次命中環(huán) 數(shù)≥7”的概率
解：“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”是指互斥事“ =7”，“ =8”，“ =9”，“ =10”的和，根據(jù)互斥事的概率加法公式，有：
P（ ≥7）=P（ =7）+P（ =8）+P（ =9）+P（ =10）=0.88
注：求離散型隨機變量 的概率分布的步驟:
（1）確定隨機變量的所有可能的值xi
（2）求出各取值的概率p( =xi)=pi
（3）畫出表格
五、小結(jié) ：⑴根據(jù)隨機變量的概率分步（分步列），可以求隨機事的概率；⑵兩點分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，它是概率論中最重要的幾種分布之一 (3) 離散型隨機變量的超幾何分布
六、后作業(yè)：
七、板書設(shè)計（略）
八、后記：
預(yù)習(xí)提綱：
�、攀裁唇凶鲭x散型隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望？它反映了離散型隨機變量的什么特征？
　⑵離散型隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望有什么性質(zhì)？

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