江蘇省鎮(zhèn)江中學2014-2014學年度高二上學期
數(shù)學期中試卷
注意事項:
1．本試題由題和解答題兩部分組成,滿分160分，考試時間為120分鐘.
2. 答題前，請您務(wù)必將自己的學校、班級、姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在答題卡上規(guī)定的地方.
3. 作題時必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效.
一 題
1. 若 ，則 是方程 表示雙曲線的 條件。
2．已知P： 2x－3 ＞1；q：1x2+x－6>0，則 p是 q的_____ ___條件．
3．已知雙曲線的兩條準線將兩焦點間的線段三等分，則雙曲線的離心率是______________．
4. 曲線 在 處的切線方程為 ．
5．已知P是拋物線y2＝4x上的一點，A(2,2)是平面內(nèi)的一定點，F(xiàn)是拋物線的焦點，當P點坐標是______ _時，PA＋PF 最小．
6．雙曲線 左支上一點 到其漸近線 的距離是 ，則 的值為　.
7．已知雙曲線 的一條漸近線的方程為 ，則此雙曲線兩條準線間距離為___．
8.設(shè) 為曲線 上一點,曲線 在點 處的切線的斜率的范圍是 ,則點 縱坐標的取值范圍是________.
9．若函數(shù) 有三個單調(diào)區(qū)間，則 的取值范圍是 ．
10．已知命題 與命題
都是真命題,則實數(shù) 的取值范圍是 .
11．函數(shù) 上的最大值為
12.設(shè) 分別是橢圓 的左頂點與右焦點,若在其右準線上存在點 ,使得線段 的垂直平分線恰好經(jīng)過點 ,則橢圓的離心率的取值范圍是________.
13．已知拋物線 到其焦點的距離為5，雙曲線 的左頂點為A，若雙曲線一條漸近線與直線AM垂直，則實數(shù)a=
14．若橢圓 上任一點到其上頂點的最大距離恰好等于該橢圓的中心到其準線的距離，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
二 填空題
15．已知P：對任意a∈[1,2],不等式 恒成立；
Q：函數(shù) 存在極大值和極小值。求使“P且 Q”為真命題的m的取值范圍。
16．如圖,在直三棱柱 中, ， 分別是 的中點，且 .
(Ⅰ)求證： ；
(Ⅱ)求證： 平面 .
17．已知橢圓 的右焦點為F,右準線為 ，且直線 與 相交于A點.
(Ⅰ)若⊙C經(jīng)過O、F、A三點,求⊙C的方程；
(Ⅱ)當 變化時, 求證：⊙C經(jīng)過除原點O外的另一個定點B；
(Ⅲ)若 時,求橢圓離心率 的范圍.
18．已知圓 ，相互垂直的兩條直線 、 都過點 .
（Ⅰ）若 、 都和圓 相切，求直線 、 的方程；
（Ⅱ）當 時，若圓心為 的圓和圓 外切且與直線 、 都相切，求圓 的方程；
（Ⅲ）當 時，求 、 被圓 所截得弦長之和的最大值.
已知橢圓焦點在x軸上且長軸長 ，焦距 ，過橢圓焦點 作一直線，交橢圓于兩點M, N，設(shè)MN的傾斜角為 ，當 取什么值時，MN等于橢圓的短軸長？
19．雙曲線 的左、右焦點分別為F1、F2，O為原點，點A在雙曲線的右支上，點B在雙曲線左準線上， ，
（1）求雙曲線的離心率e；
（2）若此雙曲線過C（2， ），求雙曲線的方程；
（3）在（2）的條件下，D1、D2分別是雙曲線的虛軸端點（D2在y軸正半軸上），過D1的直線l交雙曲線M、N， 的方程。
20已知橢圓焦點在x軸上且長軸長 ，焦距 ，過橢圓焦點 作一直線，交橢圓于兩點M, N，設(shè)MN的傾斜角為 ，當 取什么值時，MN等于橢圓的短軸長？
江蘇省鎮(zhèn)江中學2014-2014學年度高二上學期
數(shù)學期中試卷答案
1.充分不必要； 2．充分不必要條件； 3． ． 4. ． 5． ；
6． ��； 7． ； 8. ； 9. ． 10.
11． ； 12. ； 13. ； 14．
15.若P真，則 ；
若Q真，則 即 。
當P真且 為真時，
16.證:(Ⅰ)連接 交 于 ,連接 .
∵ 分別是 的中點，∴ ∥ 且 = ,∴四邊形 是矩形.
∴ 是 的中點…………………………………………………(3分)
又∵ 是 的中點,∴ ∥ ………………………………………………………(5分)
則由 , ,得 ∥ …………………………………(7分)
(注:利用面面平行來證明的,類似給分)
(Ⅱ) ∵在直三棱柱 中， ⊥底面 ,∴ ⊥ .
又∵ ,即 ⊥ ,∴ ⊥面 ………(9分)
而 面 ,∴ ⊥ ……………………………(12分)
又 ,∴ 平面 ………………………………………(14分)
17．解:（Ⅰ） ,即 ,
,準線 , …………………(2分)
設(shè)⊙C的方程為 ,將O、F、A三點坐標代入得：
,
解得 ………………………………………………………(4分)
∴⊙C的方程為 …
（Ⅱ）設(shè)點B坐標為 ,則 ,整理得：
對任意實數(shù) 都成立………)
∴ ,解得 或 ,
故當 變化時，⊙C經(jīng)過除原點O外的另外一個定點B …
（Ⅲ）由B 、 、 得 ,
∴ ,
解得 ……………………………………………(12分)
又 ,∴ ………
又橢圓的離心率 （ ）
∴橢圓的離心率的范圍是 ……
18.解：（1）根據(jù)題意得 的斜率都存在，設(shè) ……（1分）
則
……………………（6分）
（2）設(shè)圓的半徑為 ,則
解得
所以所求圓 的方程為 ……………………（11分）
（3）當 時， 、 被圓 所截得弦的中點分別是E、F，當 時， 、 被圓 所截得弦長分別是 ；圓心為B,則AEBF為矩形，
所以 ，即
……………………（14分）
所以
即 、 被圓 所截得弦長之和的最大值 ……………………（16分）


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