三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中常見的一類關(guān)于角度的函數(shù)，以下是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)提分專練，請(qǐng)考生認(rèn)真做題。
一、選擇題
1.已知函數(shù)y=Asin(x+)+k的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x=是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為()
A.y=4sin B.y=2sin+2
C.y=2sin+2 D.y=2sin+2
答案：D 解題思路：由題意：解得：又函數(shù)y=Asin(x+)+k最小正周期為，
==4， f(x)=2sin(4x+)+2.又直線x=是f(x)圖象的一條對(duì)稱軸，
4++， -，kZ，故可得y=2sin+2符合條件，所以選D.
2.函數(shù)f(x)=2sin(x+)(0,0)的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，則f(x)的遞增區(qū)間是()
A.[6k-1,6k+2](kZ) B.[6k-4,6k-1](kZ)
C.[3k-1,3k+2](kZ) D.[3k-4,3k-1](kZ)
答案：B 解題思路：|AB|=5，|yA-yB|=4，所以|xA-xB|=3，即=3，所以T==6，=.由f(x)=2sin過點(diǎn)(2，-2)，即2sin=-2,0，解得=.函數(shù)f(x)=2sin，由2kx++，解得6k-46k-1，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[6k-4,6k-1](kZ).
3.當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f(x)=Asin(x+0)取得最小值，則函數(shù)y=f是()
A.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱
C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱
D.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
答案：C 解題思路：由已知可得f=Asin+=-A， +2k(kZ)，
f(x)=Asin，
y=f=Asin(-x)=-Asin x，
函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于直線x=對(duì)稱.
4.將函數(shù)y=sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，再向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是()
A. B.
C. D.
答案：A 命題立意：本題考查了三角函數(shù)圖象的平移及三角函數(shù)解析式的對(duì)應(yīng)變換的求解問題，難度中等.
解題思路：將函數(shù)y=sin圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，得y=sin，再向右平移個(gè)單位，得y=sin=sin 2x，令2x=k，kZ可得x=k，kZ，即該函數(shù)的對(duì)稱中心為，kZ，故應(yīng)選A.
易錯(cuò)點(diǎn)撥：周期變換與平移變換過程中要注意變換的僅是x，防止出錯(cuò).
5.已知函數(shù)f(x)=sin(xR，0)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)P是圖象的最高點(diǎn)，Q是圖象的最低點(diǎn)，且|PQ|=，則f(x)的最小正周期是()
A.6B.4C.4 D.6
答案：D 解題思路：由于函數(shù)f(x)=sin，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1，Q的縱坐標(biāo)是-1.又由|PQ|==，則xQ-xP=3，故f(x)的最小正周期是6.
6.設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+cos x，把f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m0)平移后的圖象恰好為函數(shù)y=-f(x)的圖象，則m的最小值為()
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：f(x)=sin x+cos x=sinx+，y=-f(x)=-(cos x-sin x)=sin， 將f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m0)平移后得到y(tǒng)=sin的圖象， sin=sin.故m=+2k，kN，故m的最小值為.
二、填空題
7.(哈爾濱二模)函數(shù)f(x)=Asin(x+)+k的圖象如圖所示，則f(x)的表達(dá)式是f(x)=______.
答案：sin+1 命題立意：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法，難度較小.
解題思路：據(jù)圖象可得A+k=，-A+k=-，解得A=，k=1，又周期T=2==2，即此時(shí)f(x)=sin(2x+)+1，又由f=-，可得=，故f(x)=sin+1.
8.已知函數(shù)f(x)=sin(0)在(0,2]上恰有一個(gè)最大值1和一個(gè)最小值-1，則的取值范圍為______.
答案： 命題立意：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力.求函數(shù)f(x)=sin(0，x(0,2])的最大值與最小值，一般通過整體代換轉(zhuǎn)化到正弦函數(shù)的圖象上求解.運(yùn)用整體換元解題，是指通過觀察和分析，把解題的注意力和著眼點(diǎn)放在問題的整體形式和結(jié)構(gòu)特征上，從而觸及問題的本質(zhì).通過換元，使之化繁為簡(jiǎn)，化難為易，從而達(dá)到求解的目的，是提高解題速度的有效途徑.
解題思路：設(shè)t=x+，t，因?yàn)閒(t)=sin t在t上有一個(gè)最大值1和一個(gè)最小值-1，則解得所以.
9.已知a2sin +acos -2=0，b2sin +bcos -2=0(a，b，R，且ab)，直線l過點(diǎn)A(a，a2)，B(b，b2)，則直線l被圓(x-cos )2+(y-sin )2=4所截得的弦長為________.
答案：2 命題立意：本題考查直線與圓的方程及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，難度中等.
解題思路：據(jù)已知a，b可視為方程x2sin +xcos -2=0的兩根，由韋達(dá)定理可得a+b=-，ab=-，又因?yàn)橹本�AB的方程為y=(a+b)x-ab，故圓心到直線距離d====1，故所求弦長為2=2.
三、解答題
10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.
(1)將y表示成x的函數(shù)f(x)，并求f(x)的最小正周期;
(2)記f(x)的最大值為M，a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長，若f=M，且a=2，求bc的最大值.
解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，
即y=2cos2x+2sin xcos x
=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，
所以f(x)=2sin+1.
又T===，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.
(2)由(1)易得M=3，
于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc2bc-bc=bc，解得bc4，于是當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，bc取得最大值，且最大值為4.
11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，].
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;
(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.
命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì).(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式將函數(shù)f(x)化簡(jiǎn)，然后在所給角的取值范圍內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用正弦定理進(jìn)行求解.
解析：(1)因?yàn)閒(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2xcos +cos 2xsin +cos 2xcos +sin 2xsin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==.
因?yàn)閤[0，]，所以2x+，
當(dāng)2x+，即x時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);
當(dāng)2x+，即x時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);
當(dāng)2x+，即x時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)因?yàn)樵贏BC中，f=，
所以sin=，所以sin=1，
因?yàn)?
又因?yàn)閍=2，b=，所以由正弦定理=，得=，
所以sin B=，即B=或B=，
所以C=或C=.
鏈接高考：高考對(duì)于三角函數(shù)的考查一般是綜合考查同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式，運(yùn)用這些公式先對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)一步研究其性質(zhì).
12.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+)，其中A0，.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)E，F(xiàn)，求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)如圖，點(diǎn)M，N是函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，函數(shù)圖象上一點(diǎn)P滿足=，求函數(shù)f(x)的最大值.
命題立意：本題考查三角函數(shù)的恒等變換、平面向量的相關(guān)內(nèi)容以及由f(x)=Asin(x+)的部分圖象確定其解析式等知識(shí).對(duì)于第(1)問，根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)E，F(xiàn)建立方程組，可求得的值，利用f=，可求得A的值，從而可得函數(shù)解析式;對(duì)于第(2)問，一種方法是先求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再利用=，即可求出函數(shù)f(x)的最大值;另一種方法是過點(diǎn)P作PC垂直x軸于點(diǎn)C，利用=，求得||=，從而||=||-||=，由此可得+2t=，利用P在函數(shù)f(x)圖象上，即可求得函數(shù)f(x)的最大值.
解析：(1) 函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)E，F(xiàn)，
sin=sin，
展開得cos +sin =.
cos =sin ，tan =，
， =，
函數(shù)f(x)=Asin，
f=，
A=2.
f(x)=2sin.
(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+)=0， 2x+=k，kZ， 點(diǎn)M，N分別位于y軸兩側(cè)，則可得M，N，
=，=，
==， +t=，
+2t=.
P在函數(shù)圖象上，
Asin(+2t)=Asin=，
A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.
解法二：過點(diǎn)P作PC垂直x軸于點(diǎn)C.
令f(x)=Asin(2x+)=0. 2x+=k，kZ，
M，N分別位于y軸兩側(cè)，可得M，N， ||=，
=||||cos PNM
=||cos PNM=||=，
||=， ||=||-||=，
即+t=.
+2t=， Asin(+2t)=Asin =，
A=. 函數(shù)f(x)的最大值為.
名師語要：本題較好的把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合起來進(jìn)行考查，既考查了三角函數(shù)有關(guān)的運(yùn)算，又考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算.近幾年的高考中常常把三角函數(shù)與平面向量結(jié)合考查，也常常把三角函數(shù)與正余弦定理結(jié)合起來考查.
13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.
解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得
f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=sin 2x+cos 2x=2sin，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為.
因?yàn)閒(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin，
因?yàn)閒(x0)=，所以sin=.
由x0，得2x0+，
從而cos=-=-，
所以cos 2x0=cos
=coscos +sinsin
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