數(shù)數(shù)格點(diǎn)算出面積

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


  一張方格紙上,上面畫著縱橫兩組平行線,相鄰平行線之間的距離都相等,這樣兩組平行線的交點(diǎn),就是所謂格點(diǎn)。

  如果取一個(gè)格點(diǎn)做原點(diǎn)O,如圖1,取通過這個(gè)格點(diǎn)的橫向和縱向兩直線分別做橫坐標(biāo)軸OX和縱坐標(biāo)軸OY,并取原來方格邊長做單位長,建立一個(gè)坐標(biāo)系。這時(shí)前面所說的格點(diǎn),顯然就是縱橫兩坐標(biāo)都是整數(shù)的那些點(diǎn)。如圖1中的O、P、Q、M、N都是格點(diǎn)。由于這個(gè)緣故,我們又叫格點(diǎn)為整點(diǎn)。

  一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn),這多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形。有趣的是,這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來很方便,只要數(shù)一下圖形邊線上的點(diǎn)的數(shù)目及圖內(nèi)的點(diǎn)的數(shù)目,就可用公式算出。

  設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn),多邊形邊線上有 L個(gè)格點(diǎn)。為了尋求公式,我們從簡單的圖形(如圖2,圖3,圖4)考慮起,并列成一表,探求它們之間的關(guān)系。

      圖1                        

    

圖2                          圖3

          

圖4

   

圖形 S N L S-N L/2
OABC 1 0 4 1 2
OPQR 4 1 8 3 4
OQB 1/2 0 3 1/2 3/2
OPC 1 0 4 1 2
OLMR 8 3 12 5 6
EFG 9/2 1 9 7/2 9/2
HIJKXY 10 7 8 3 4

  看過上表的前四行,我們可能感到很失望,S,N,L之間看不出有什么聯(lián)系來,不過,我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)看到,當(dāng)S很大時(shí),S和N的差(相對(duì)地說)是很少的。因此,我們?cè)诒砩咸砹艘涣,包含S-N,這行數(shù)字是隨著L而增大的。如果用2去除L,列到最后一刻,我們立刻得到下面的有趣的關(guān)系:

                        S-N=-1,

即                       s=n+=-1。

  這個(gè)公式是皮克(Pick)在1899年給出的,被稱為“皮克定理”,這是一個(gè)實(shí)用而有趣的定理。我們這里并不想對(duì)皮克定理給予嚴(yán)格的證明,同學(xué)們可以通過不同的格點(diǎn)多邊形驗(yàn)證它的正確性。

  不過,通常我們需要計(jì)算的圖形,往往并不是格點(diǎn)多邊形。因此,首先需要通過割補(bǔ)的辦法,化為面積相近的格點(diǎn)多邊形,然后再用皮克公式進(jìn)行計(jì)算。

  同學(xué)們,當(dāng)你親自算出一些圖形的實(shí)際面積時(shí),你一定會(huì)為科學(xué)的勝利而感到無限的欣慰。


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