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高一數學學習：集合大小定義的基本要求五

再舉一個例子。假設我給你一個大口袋，里面有無限多個小口袋，上面按照自然數標了號1、2、3……。在1號口袋中有1粒豆子，2號口袋中有2粒豆子，……依次類推�，F在我當著你的面拿掉1號小口袋，那么剩下的小口袋數和原來的相比如何?如果按照“整體大于部分”的觀點，應該是少了，少一條。但是如果我當初就背著你拿掉1號口袋，然后從其他每個小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的號碼改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋給你，你顯然不會知道我做了手腳，因為這時大口袋里的東西和原來沒有任何區(qū)別，所以小口袋的數量和原來一樣多。這就和“少一條”矛盾了，從小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的標號不應該改變口袋的數量。大家明白我是打了一個比方，大口袋就是一個集合。按照上面的要求，集合的大小只應該取決于集合本身，而不應該取決于集合的表示方法或構造方法，也就是得到集合的過程。你拿到了大口袋，也就是就應該知道里面小口袋的數量，而不用知道我是否做過手腳。

這樣的例子可以舉很多。我們發(fā)現，如果堅持“整體大于部分”的話，固然可以使得某些集合和自己的子集相比較時，比如比較自然數和正偶數的個數時，符合“直觀”和“常識”。但是更多的非常直觀的東西和常識卻都會變成錯誤的。比如說，x'=x+1這樣一個數軸上的坐標平移，會將坐標上的點集{1,2,3……｝變?yōu)閧2,3,4……｝，一個坐標平移居然可以變動點集中元素的個數!“元素可以一一對應的兩個集合大小相同”這條原理的失效，會使得我們在比較兩個元素很不相同的集合時無所適從：怎樣不使用一一對應的方法來比較自然數和數軸上(0,1)區(qū)間中點的個數?

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