本章學生將學習集合與函數概念的基礎知識。

　　集合語言是現代數學的基本語言，使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些內容。本章中只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言去表示有關的數學對象，發(fā)展運用數學語言進行交流的能力。
函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型。高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言來刻畫函數，函數的思想方法將貫穿于高中數學課程的始終。

　　一、內容和課程學習目標

　　本章中，學生將學習集合與函數概念。通過本章的學習，應當使學生：

　　1．了解集合的含義與表示，理解集合間的關系和運算，感受集合語言的意義和作用。

　　2．進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，會用集合與對應的語言描述函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用。

　　3．了解函數的構成要素，會求簡單函數定義域和值域，會根據實際情境的不同需要選擇恰當的方法表示函數。

　　4．通過已學過的具體函數，理解函數的單調性、最大（�。┲导捌鋷缀我饬x，了解奇偶性的含義，會用函數圖象理解和研究函數的性質。

　　5．根據某個主題，收集17世紀前后發(fā)生的一些對數學發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物（開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓、萊布尼茲、歐拉等）的有關資料，了解函數概念的發(fā)展歷程。

　　二、內容安排

　　本章共安排了3個小節(jié)，1個實習作業(yè)和3個選學內容，教學時間約需13課時，大體分配如下（僅供參考）：

　　1.1 集合約4課時
　　閱讀與思考 集合中元素的個數

　　1.2 函數及其表示                               約4課時
　　閱讀與思考 函數概念的發(fā)展歷程

　　1.3 函數的基本性質約3課時
　　信息技術應用 用計算機畫函數圖象

　　實習作業(yè)約1課時

　　小結約1課時

　　本章知識結構如下：

　　1．集合語言是現代數學的基本語言。在高中數學課程中，它也是學習、掌握和使用數學語言的基礎，因此把它安排在了高中數學的起始章．教科書從學生熟悉的集合（有理數的集合、直線或圓上的點集等）出發(fā)，結合學生身邊的實例引出元素、集合的概念，介紹了表示集合的列舉法和描述法及Veen圖；類比實數間的相等、大小關系，通過對具體實例共性的分析、概括出了集合間的相等、包含關系；針對具體實例，通過類比實數間的加法運算引出了集合間“并”的運算，并在此基礎上進一步擴展，介紹了“交”的運算和“補”的運算。這里采用類比方式處理集合間的關系和運算的目的在于體現知識之間的聯(lián)系，滲透數學學習的方法。

　　與以往相比，教科書對函數概念的處理方式發(fā)生了很大的變化。改變了以往先映射后函數的順序，直接通過三個背景實例，在問題的引導下分析概括出運用集合與對應語言描述的函數定義。這樣，既銜接了初中階段將函數看成變量之間的依賴關系的認識，又進一步提升到用集合與對應的語言來刻畫函數。為了理解函數概念的本質，教科書從函數的三要素、函數的符號、函數表示法三個角度對函數概念進行細化，最后將函數概念推廣到了映射。這樣處理的目的是將重點放在對函數概念本質的理解上。教科書在不同的時機為學生提供了進行判斷、練習、比較、討論交流的機會，以便使學生通過主動思考與動手操作更好地理解函數概念。

　　在函數的表示法中，教科書選取了兩個貼近學生生活的實例（高一學年三位同學的數學成績問題，汽車票價問題），展示了如何在實際情境中根據不同的需要選擇恰當的表示方法，并結合相關內容介紹了分段函數及其應用。
在討論函數性質時，教科書通過問題，引導學生經歷了“三步曲”：

　　第一步，觀察具體函數的圖象，描述圖象特征；

　　第二步，結合相應的數值表，用日常描述性語言描述函數特征；

　　第三步，引進數學符號，用形式化語言描述函數性質。

　　希望通過這樣的安排，幫助學生更好地認識函數的性質，并體會從直觀到抽象的過程。在這個過程中，教科書為學生提供了實際操作、自我探究的機會，例如由學生親自給出函數最小值的定義等。
函數概念是數學中的基本概念之一，它的發(fā)展成熟經歷了漫長的歲月，融入了眾多數學家的智慧。教科書在本章末安排了關注于函數概念的發(fā)展及在此過程中起重大作用的歷史事件和人物的實習作業(yè)，讓學生通過自己的實踐和與他人的合作共同了解函數概念的發(fā)展歷程，感受數學文化。

　　三、編寫本章時考慮的幾個問題

　　1．利用豐富的背景實例創(chuàng)設問題情境，引導學生理解抽象的數學概念。
本章學習的數學知識都是基礎性知識，它們的使用貫穿了整個高中數學的學習，而它們又具有較高的抽象性，如函數、函數的單調性等概念。每一個抽象概念的產生與發(fā)展總有它的現實或數學理論發(fā)展的需要，強調概念產生發(fā)展的背景，聯(lián)系學生原有的認知基礎，有利于學生理解抽象概念的內涵。因此，教科書就本章數學概念的特點選取了具有時代特點、貼近學生實際的事例創(chuàng)設情境。例如在引入元素和集合時，教科書安排了8個實例，既包括學生熟悉的“1～20以內的質數”“所有的正方形”等例子，又有與生活密切相關的“新華中學2004年9月入學的高一學生的全體”等例子；在引入函數一般概念時，選取了生活中的實例：炮彈的高度與時間的關系、南極臭氧空洞面積從1979年到2001年變化的圖象、“八五”以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數變化數據表；在介紹函數基本性質時，教科書運用了學生熟悉的二次函數、一次函數的圖象和數值表。在這些背景實例中，教科書在每一次知識的轉折點上，都力求提出具有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性的問題，引導學生經歷觀察、思考、探究、交流、反思的過程，逐步獲得對抽象概念的理解。例如，在函數單調性學習時，教科書在通過對圖象觀察，獲得圖象的特征后提出問題：“如何用數學形式化的語言描述函數圖象的‘上升’、‘下降’呢？”，根據數值表就二次函數得到文字語言描述后，給出思考問題“對于用函數解析式f(x)=x表示的函數，如何用數學形式化的語言描述‘隨著x的增大，相應的f(x)隨著減小’、‘隨著x的增大，相應的f(x)也隨著增大’？”。

　　豐富的背景實例、恰當的問題串和精辟的分析展現了知識發(fā)生發(fā)展的過程，反映了從具體到抽象、特殊到一般的原則。對于學生，這些問題串就是他們在學習過程中主動思考、主動探究的“指示牌”，通過層層深入的思考與探究，經歷數學知識的發(fā)現和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈。

　　2．重視數學思想方法的滲透，體現數學的文化價值

　　“科學性”與“思想性”是本套教科書努力創(chuàng)新的一個方面。根據本章數學知識內容的特點，教科書充分滲透了數形結合的思想方法。無論是利用Veen圖表示集合的關系和運算，還是從對函數圖象特征的描述入手，逐步獲得嚴格的形式化的函數性質的定義，幾乎在本章的每一處都充分體現了這一思想方法。并且，教科書還為學生掌握這一思想方法提供了許多機會，期望學生在閱讀、思考與運用中逐漸掌握數形結合的方法，感受幾何直觀對理解抽象概念和解決問題中的作用。
教科書盡最大可能地展示了聯(lián)想、類比、推廣等研究數學問題中常用的邏輯思考的方法。例如通過類比方法的運用，類比數的大小、相等關系引入集合間的包含、相等關系；通過類比數的加法運算引出集合“并”的運算；通過推廣函數概念獲得了映射概念，等等。教科書中展示邏輯思考方法，可以使學生體會數學思考和探索活動的基本規(guī)律，養(yǎng)成良好的思維習慣，形成有條理地、符合邏輯地進行思考、推理、表達與交流的能力。

　　數學是人類文化的重要組成部分，是人類社會進步的產物，也是推動社會發(fā)展的動力。本章對數學文化給予了很大的關注，不僅提供了“閱讀與思考 函數概念的發(fā)展歷程”，而且還安排了讓學生通過收集資料、閱讀思考、合作交流等學習方式完成實習作業(yè)，希望學生通過學習本章不僅在數學知識和能力方面得到提高，而且能夠感受到數學文化的熏陶，逐步地認識數學的科學價值和人文價值，提高科學文化素養(yǎng)。

　　3．提供積極思考、自主探索的空間，使學生主動地學習

　　豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法是高中數學課程追求的基本理念。學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受，獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等都是學習數學的重要方式。本章在知識內容的呈現上為引導學生的積極思考、自主探索留下了比較充分的空間，采取的主要方法有：

　　（1）設置具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題，引發(fā)學生的思考和探究。例如：

　　思考  我們知道，實數有加法運算。類比實數的加法運算，集合是否也可以“相加”呢？

　　考察下列各個集合，你能說出集合 與集合A，B之間的關系嗎？

　�、貯={1，3，5 }，B={2，4，6 }，C={1，2，3，4，5，6 }；

　�、贏={有理數}，B={無理數}，C={實數}。

　�。�2）在適當的時候提出學習要求或預留空白，為學生提供動手實踐的機會。例如1.2節(jié)的例5的邊框中提出如下要求：

　　是否可以設計一個表格，讓售票員和乘客非常容易地知道任兩站之間的票價？

　�。�3）通過拓展性欄目，引導學生根據自己的興趣，翻閱更多的資料，經過閱讀自學、獨立思考、討論交流獲取更多的知識。

　　例如1.1集合中的“閱讀與思考 集合中元素的個數”。

　　四、對教學的幾個建議

　　1．把集合作為一種語言來學習

　　根據標準的要求，高中數學課程只將集合作為一種語言來學習。因此，學習集合初步知識的目的主要在于能使用最基本的集合語言表示有關數學對象，發(fā)展運用數學語言進行交流的能力。在教學中，可以將集合語言與自然語言及圖形語言進行比較，并注意創(chuàng)設讓學生使用集合語言進行表達和交流的豐富情境和機會，特別是在學習集合間的關系和運算時，要重視使用Venn圖，以便學生在實際使用中逐漸熟悉自然語言、集合語言、圖形語言的各自特點，并能根據實際需要進行相互轉換，從中感受集合語言的意義和作用。例如利用問題“在平面直角坐標中，集合 就表示直線y=x，從這個角度看，集合表示什么？集合C、D之間有什么關系嗎？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關系”，可以使學生體會集合語言表達數學內容的特點，在不同語言的轉換中感受集合語言的作用。在教學時，可以充分利用教科書提供的機會或開發(fā)一些情境，逐漸發(fā)展學生使用集合語言進行交流的能力。

　　2．函數概念的處理方式

　　與以往相比，本章發(fā)生變化最大的就是函數概念的處理方式，在教學時，應給予充分的重視。從“先講映射后講函數”轉變?yōu)椤跋戎v函數后講映射”的主要理由在于這樣可以使學生更好地理解函數概念的本質。其一，在初中函數學習基礎上繼續(xù)深入學習函數，銜接自然，利于學生在原有認知基礎上提升對函數概念的理解；其二，單刀直入進入函數概念的學習更有利于學生將注意力放在理解函數概念本質上，而不必花大量精力學習映射、認識映射與函數間的關系后才能理解函數概念。從豐富的具體事例中概括函數的本質特征，得出函數概念，體現了從具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學生建立關于抽象的函數概念的背景支持。在教學中，可以多為學生提供豐富的背景實例，也可以讓學生自己舉出一些函數實例，引導學生通過自己的觀察、分析、歸納和概括，獲得用集合與對應語言刻畫的函數概念。

　　當然，對函數概念本質的理解并非一次就可以實現的，要通過與初中定義的比較、與其它知識的聯(lián)系以及不斷的應用等才能逐步理解。除了在本章要適當地為學生提供反復理解函數概念的機會外，在后續(xù)的學習中，應當通過基本初等函數的學習，引導學生以具體函數為依托，反復地、螺旋上升地理解函數的本質。

　　3．重視信息技術的使用

　　考慮到我國不同地區(qū)信息技術硬件條件的差異性，以及可用于數學教與學的不同軟件各具優(yōu)勢，教科書沒有在正文中詳述信息技術的使用，只在適于使用信息技術的地方利用邊框給予提示，但在信息技術應用欄目中對用計算機做函數圖象做了較為詳細的介紹。

　　本章有許多可以使用信息技術的機會，例如函數的求值，作函數的圖象，研究函數的性質等，這主要是基于信息技術的圖象功能和數值計算功能，它不僅能便捷地計算函數值、迅速繪制函數圖象，而且許多軟件具有交互式的動態(tài)環(huán)境，非常有利于學生的主動探究。因此，有條件的學校應盡量地加強數學教學與信息技術的整合，積極開發(fā)使用信息技術的空間，讓學生利用信息技術探索函數的圖象與性質等，從而更好地理解函數概念。

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