式子 ( ≥0)叫二次根式，二次根式的運算是以下列運算法則為基礎．
(1) ( ≥0)；
(2) ( )；
(3) ( )；
(4) ( 0)．
同類二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它們貫穿于二次根式運算的始終，因為二次根式的加減實質就是合并同類二次根式，二次根式除法、混合運算常用到有理化概念．
二次根式的運算是在有理式(整式、分式)運算的基礎上發(fā)展起來的，常常用到有理式運算的方法與技巧，如換元、字母化、拆項相消、分解 相約等．
例題求解
【例1】 已知 ，則 = ．
(重慶市競賽題)
思路點撥 因一個等式中含兩個未知量，初看似乎條件不足，不妨從二次根式的定義入手．
注： 二次根式有如下重要性質：
(1) ，說明了 與 、 一樣都是非負數(shù)；
(2) ( 0)，解二次根式問題的途徑——通過平方，去掉根號有理化；
(3) ，揭示了與絕對值的內在一致性．
著名數(shù)學教育家玻利亞曾說，“回到定義中去”，當我們面對條件較少的問題時，記住玻利亞的忠告，充分運用概念解 題．
【例2】 化簡 ，所得的結果為（ ）
A． B． C． D．
(武漢市選拔賽試題)
思路點拔 待選項不再含根號，從而可預見被開方數(shù)通過配方運算后必為完全平方式形式．
注 特殊與一般是能相互轉化的，而一般化是數(shù)學創(chuàng)造的基本形式，數(shù)學的根本目的就是要揭示更為普遍、更為深刻的事實和規(guī)律．
【例3】計算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
．
思路點撥 若一開始就把分母有理化，則使計算復雜化，觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點，通過分拆、分解、一般化、配方等方法尋找它們的聯(lián)系，以此為解題的突破口．
【例4】 (1)化簡 ； (北京市競賽題)
(2)計算 (“希望杯”邀請賽試題)
(3) 計算 ． (湖北省孝感市“英才杯”競賽題)
思路點撥 （1）把4+2 萬與4—2 分別化成一個平方數(shù)化簡，此外，由于4+2 與4—2 是互為有理化因式，因此原式平方后是一個正整數(shù) ，我們還可以運用這一特點求解；(3)通過配方，可以簡化一重根號，解題的關鍵是就a的取值情況討論，解決含根號、絕對值符號的綜合問題．
【例5】 已知 ，求 的值．
(山東省競賽題)
思路點撥 已知條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式怎樣才能確定未知量的值呢?考慮從配方的角度試一試．
學歷訓練
1．如果 ，那么 = ．
(四川省競賽題)
2．已知 ，那么 的值為 ． (成都市中考題)
3．計算 = ．(天津市選拔賽試題)
4．若 ab≠ 0，則等式 飛成立的條件是 ．(淄博市中考題)
5．如果式子 化簡的結果為 ，則x的取值范圍是( )
A．x≤1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x >0 (徐州市中考題)
6．如果式子 根號外的因式移入根號內，化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，則 的值為( )
A． B． C． D．
8．已知 ，那么 的值等于（ ）
A． B． C． D．3
9．計算：
(1) ；
（2） ； (北京市數(shù)學競賽題)
（3） ；
（4）
(“希望杯”邀請賽試題)
10．(1)已知 與 的小數(shù)部分分別是a和b，求ab－3a+4b+8的值；
(2)設 ， ，n為自然數(shù)，如果 成立，求n．
11．如圖，某貨船以20海里／時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨．此時，接到氣象部門通知，一臺風中心正以40海里／時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊 界)均會受到影響．
（1）問：B處是否會受到臺風的影響?請說明理由；
(2)為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內卸完貨物?
(供選用數(shù)據(jù)： ， ) (貴陽市中考題)
12． 已知 ， ，那么 = ．(T1杯全國 初中數(shù)學聯(lián)賽題)
13．若有理數(shù)x、y、z滿足 ，則 = ．
(北京市競賽題)
14．設 ，其中a為正整數(shù)，b在0，1之間，則 = ．
15．正數(shù)m、n滿足 ，則 = ．
(北京市競賽題)
16．化簡 等于( )
A．5—4 B．4 一1 C． 5 D．－1 (全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
17．若 ，則 等于( )
A B ． C．1 D．－1
(2004年武漢市選拔賽試題)
18．若 都是有理數(shù)，那么 和 面( )
A．都是有理數(shù) B．一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)
C．都是無理數(shù) D．有理數(shù)還是無理數(shù)不能確定
(第13屆“希望杯”邀請賽試題)
19．下列三個命題：
①若α，β是互不相等的無理數(shù)，則αβ+ α－β是無理數(shù)；
②若α，β是互不相等的無理數(shù)，則 是無理數(shù)；
③若α，β是互不相等的無理數(shù)，則 是無理數(shù)．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A． 0 B．1 C．2 D．3 (全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
20．計算：
（1） ； （ “希望杯”競賽題）
（2） ； （山東省競賽題）
（3） ；（四川 省選拔賽題）
(4) ；
(5) ． (新加坡中學生數(shù)學競賽題)
21．(1)求證 ；
(2)計算 ．（“祖沖之杯”邀請賽試題）
22． (1)定義 ，求 的值；
(2)設x、y都是正整數(shù)，且使 ，求y的最大值．
(上海市競賽題 )
23．試將實數(shù) 改寫成三個正整數(shù)的算術根之和．
(2001年第2屆全澳門校際初中數(shù)學競賽題)
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