第三講 因式分解的應用
在一 定的條件下，把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱為代數(shù)式的恒等變形，是研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的基礎．
因式分解是代數(shù)變形的重要工具．在后續(xù)的學習中，因式分解是學習分式、一元二次方程等知識的基礎，現(xiàn)階段．因式分解在數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值，不定方程(組)、代數(shù)等式的證明等方面有廣泛的應用．同時，通過因式分解的訓練和應用，能使我們的觀察能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高．
因此，有人說因式分解是學好代數(shù)的基礎之一．
例題求解
【例1】若 ，則 的值為 ．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
思路點撥 恰當處理兩個等式，分解關于 的二次三項式．
注：
在信息技術飛速發(fā)展的今天，信息已經(jīng)成為人類生活中最重要的因素．在軍事、政治、商業(yè)、生活等領域中，信息的保密工作顯得格外重要．現(xiàn)代保密技術的一個基本思想，在編制密碼的工作中，許多密碼方法，就來自于因數(shù)分解、因式分解技術的應用．
代數(shù)式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值； (2)通過變形，尋找字母間的關系，代入關系求值；
(3)整體代入求值．
【例2】已知 a、b、c是一個三角形的三邊，則 的值( )
A．恒正 B．恒負C．可正可負D．非負
(大原市競賽題)
思路點撥 從變形給定的代數(shù) 式入手，解題的關鍵是由式于的特點聯(lián) 想到熟悉的結果，注意幾何定理的約束．
【例3】計算下列各題：
（1） ；
（2）
思路點撥 觀察分子、分母數(shù)字間的特點，用字母表示數(shù)，從一般情形考慮，通過分解變形，尋找復雜數(shù)值下隱含的規(guī)律．
【例4】已知 n是正整數(shù)，且n4—16n2+100是質數(shù)，求n的值．
( “希望杯’邀請賽試題)
思路點拔 從因數(shù)分解的角度看，質數(shù)只能分解成l和本身的乘積(也可從整除的角度看)，故對原式進行恰當?shù)姆纸庾冃�，是解本例的最自然的思路�?br /> 【例5】(1)求方程 的整數(shù)解；
(上海市競賽題)
(2)設x、y為正整數(shù)，且 ，求 的值．
( “希望杯”邀請賽試題)
思路點拔 觀察方程的特點，利用整數(shù)解這個特 殊條件，運用因式分解或配方，尋找解題突破口．
鏈接
解題思路的獲得，一般要經(jīng)歷三個步驟：
(1)從理解題意中提取有用的信息，如數(shù)式特點、圖形結構特征等；
(2)從記憶儲存中提取相關的信息，如有關公式、定理、基本模式等；
(3)將上述兩組信息進行進行有效重組，使之成為一個舍乎邏輯的和諧結構．
不定方程(組)的基本解法有：
(1)枚舉法； (2)配方法；(3)因數(shù)分解、因式分解法； (4)分離系數(shù)法．
運用這些方法解不定方程時，都需靈活運用奇數(shù)偶數(shù)、質數(shù)合數(shù)、整除等與整數(shù)相關的知識．
學力訓練
1．已知x+y＝3， ，那么 的值為 ．
2．方程 的整數(shù)解是 ． ( “希望杯”邀請賽試題)
3．已知a、b、c、d為非負整數(shù)，且ac+bd+ad+bc=1997，則a+b+c+d＝ ．
4．對一切大于2的正整數(shù)n，數(shù)n5一5n3+4n的量大公約數(shù)是 ．
(四川省競賽題)
5．已知724－1可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是( )
A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．4l，47
6，已知2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，則 的值是( )
A． 2， B．2 C． D．－2，
7 ．a(chǎn)、b、c是正整數(shù)，a>b，且a2-ac+bc=7，則 a—c等于( )
A．一2 B．一1 C．0 D． 2
(江蘇省競賽題)
8．如果 ，那么 的值等于( )
A．1999 B．2001 C．2003 D．2005
（武漢市選拔賽試題）
9．(1)求證：8l7一279—913能被45整除；
(2)證明：當n為自然數(shù)時，2(2n+1)形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差；
（3）計算：
10．若a是自然數(shù)，則a4－3a+9是質數(shù)還是合數(shù)?給出你的證明．
(“五城市”聯(lián)賽題)
11．已知a、b、c滿足a+b＝5，c2＝ab+b－9，則c＝ ． (江蘇省競賽題)
12．已知正數(shù)a、b、c滿足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，則(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市競賽題)
13．整數(shù)a、b滿足6ab＝9a—l0b+303，則a+b= ．(“祖沖之杯”邀請賽試題)
14．已知 ，且 ，則 的值等于 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
15．設a
A．0 B．－1 C．1 D． 3
( “希望杯”邀請賽試題)
17．已知兩個不同的質數(shù)p、q滿足下列關系 ： ， ，m是適當?shù)恼麛?shù)，那么 的數(shù)值是( )
A．4004006 B．3996005 C． 3996003 D．4004004
18．設n為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式n3－n計算其值時，四個學生算出了下列四個結果．其中正確的結果是( )
A．5814 B．5841 C．8415 D．845l (陜西省競賽題)
19．求證：存在無窮多個自然數(shù)k，使得n4+k不是質 數(shù)．
20．某校在向“希望工程”捐救活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數(shù)與乙班的9個男生和n個女生的捐款總數(shù)相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)，求每人的捐款數(shù)． (全國初中教學聯(lián)賽題)
21．已知b、c是整數(shù)，二次三項 式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一個因式，也是x3+4x2+28x+5的一個因式，求x＝1時，x2 +bx＋c的值．
(美國中學生數(shù)學競賽題)
22．按下面規(guī)則擴充新數(shù)：
已有兩數(shù)a、b，可按規(guī)則c=ab+a+b擴充一個新數(shù)，在a、b、c三個數(shù)中任取兩數(shù)，按規(guī)則又可擴充一個新數(shù)，……每擴充一個新數(shù)叫做一次操作．
現(xiàn)有數(shù)1和4，(1)求按上述規(guī)則操作三次得到擴充的最大新數(shù)；(2 )能否通過上述規(guī)則擴充得到新數(shù)1999，并說明理由． (重慶市競賽題)
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