【—實數(shù)的重要】按性質(zhì)分類是：正數(shù)、負(fù)數(shù)、0，按定義分類是：有理數(shù)、無理數(shù)。

　　實數(shù)

　　實數(shù)可以用通過收斂于一個唯一實數(shù)的十進制或二進制展開如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補全。實數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來。這里給出其中一種，其他方法請詳見實數(shù)的構(gòu)造。

　　公理的方法

　　設(shè) R 是所有實數(shù)的集合，則：

　　集合 R 是一個域： 可以作加、減、乘、除運算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。

　　域 R 是個有序域，即存在全序關(guān)系≥ ，對所有實數(shù) x, y 和 z：

　　若 x ≥ y 則 x + z ≥ y + z;

　　若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 則 xy ≥ 0。

　　集合 R 滿足完備性，即任意 R 的有空子集S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 內(nèi)有上界，那么 S 在 R 內(nèi)有上確界。

　　最后一條是區(qū)分實數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于 2 的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如 1.5;但是不存在有理數(shù)上確界(因為 √2 不是有理數(shù))。

　　實數(shù)通過上述性質(zhì)唯一確定。更準(zhǔn)確的說，給定任意兩個有序域 R1 和 R2，存在從 R1 到 R2 的唯一的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。

　　相關(guān)性質(zhì)基本運算

　　實數(shù)可實現(xiàn)的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負(fù)數(shù)(即正數(shù)和0)還可以進行開方運算。實數(shù)加、減、乘、除(除數(shù)不為零)、平方后結(jié)果還是實數(shù)。任何實數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實數(shù)，只有非負(fù)實數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實數(shù)。

　　四則運算封閉性

　　實數(shù)集R對加、減、乘、除(除數(shù)不為零)四則運算具有封閉性，即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是實數(shù)。

　　實數(shù)集有序性

　　實數(shù)集是有序的，即任意兩個實數(shù)a、b必定滿足下列三個關(guān)系之一：ab.

　　實數(shù)的傳遞性

　　實數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c,則有a>c.

　　實數(shù)的阿基米德性

　　實數(shù)具有阿基米德(Archimedes)性，即對任何a，b ∈R，若b>a>0,則存在正整數(shù)n，使得na>b.

　　實數(shù)的稠密性

　　實數(shù)集R具有稠密性，即兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).

　　實數(shù)唯一性

　　如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點，指定一個方向為正方向(通常把指向右的方向規(guī)定為正方向)，并規(guī)定一個單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實數(shù)都對應(yīng)與數(shù)軸上的唯一一個點;反之，數(shù)軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數(shù)。于是，實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應(yīng)的關(guān)系。

　　完備性

　　作為度量空間或一致空間，實數(shù)集合是個完備空間，它有以下性質(zhì)：

　　所有實數(shù)的柯西序列都有一個實數(shù)極限。

　　有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實際上，它有個實數(shù)極限 √2。實數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構(gòu)造實數(shù)集合的一種方法。

　　極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。實數(shù)的完備性等價于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。

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