【—三角形垂心的基礎公式】三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心，基本上全部的銳角三角形垂心都在在三角形內部。

　　三角形垂心

　　設△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、

　　C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2.

　　1、銳角三角形的垂心在三角形內;直角三角形的垂心在直角頂點上;鈍角三角形的垂心在三角形外.

　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心;或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心;

　　3、 垂心H關于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。

　　4、 △ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

　　5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。

　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。

　　7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

　　8、 設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

　　9、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。

　　10、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心;銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短(施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫發(fā)現)。

　　11、西姆松定理(西姆松線)：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

　　12、 設銳角△ABC內有一點P，那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

　　13、設H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC 初中學習方法，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。

　　14、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點的切線。

　　其實直角三角形垂心在三角形直角頂點，鈍角三角形垂心在三角形外部。

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