益陽(yáng)市一中2013年下學(xué)期期中考試 高二理科數(shù)學(xué)試題 時(shí)量120分鐘 總分150分 命題人：李立明 審題人：石宏波一、選擇題 （每小題5分，共40分）1、“ 粗繒大布裹生涯, 腹有詩(shī)書氣自華。2、“對(duì)任意，都有”的否定為A.對(duì)任意，都有 B.不存在，都有 C.存在，使得 D.存在，使得3、正方體ABCD(A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值是A. B. C. D. 4、 雙曲線與拋物線有一個(gè)公共焦點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F且垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率等于A. B. C. D.5、 已知雙曲線：（）的離心率為，則的漸近線方程為A. B. C. D.6、 已知橢圓的焦點(diǎn)為，的直線交橢圓于兩點(diǎn)。若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為 A. B. C. D.7、設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則的方程為A.或 B.或 C.或 D.或 8、在邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以D為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中，,則滿足. A. B. C. D.二.填空題 （每小題5分，共35分）9、如圖，在正方體中，.分別是.的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是_______10、已知條件；條件，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是__________.11、給出下列命題：①命題“若b2－4acb>0，則>>0”的逆否命題；④“若m>1，則mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集為R”的逆命題.其中真命題的序號(hào)為________.12、 已知點(diǎn)...，則向量在方向上的投影為是________________________.13、已知拋物線方程，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______14、拋物線上的點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線距離為，到直線的距離為，則的最小值是15、設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在橢圓上，且，若AB=4，，則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為________三.解答題 （共75分，16~18每題12分，19~21每題13分）16、已知命題p：函數(shù)是R上的減函數(shù)；命題q：在時(shí)，不等式恒成立，若pvq是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17、 設(shè)橢圓的離心率為=,點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),且點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4. (1)求橢圓的方程； (2)若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,求的取值范圍. 18、已知雙曲線C：與直線:x + y = 1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.(1) 求雙曲線C的離心率e的取值范圍；(2) 設(shè)直線與y軸交點(diǎn)為P，且，求的值19、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，A點(diǎn)在PD上的射影為G點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，平面PEC⊥平面PDC.（1）求證：AG∥平面PEC；（2）求AE的長(zhǎng)；（3）求直線AG與平面PCA所成角的正弦值.20、如圖，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點(diǎn)，，圓的直徑為9。（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值。21、已知拋物線，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn).(1)證明：直線的斜率互為相反數(shù)； (2)求面積的最小值；(3)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.根據(jù)（1）（2）推測(cè)并回答下列問(wèn)題（不必說(shuō)明理由）：①直線的斜率是否互為相反數(shù)？ ②面積的最小值是多少？益陽(yáng)市一中2013年下學(xué)期期中考試高二理科數(shù)學(xué)試題參考答案（僅供參考）12345678ADBACDCD8. 作圖知，只有，其余均有，易知應(yīng)選D二.填空題答案:9.90。 10. 11. ①②③ 12. 13. (0, ) 14. 15. 三.解答題答案:16. p：∵函數(shù)是R上的減函數(shù)∴0＜2a－5＜1， ……3分故有＜a＜3 ……4分q：由x2－ax＋x＜0得ax＞x2＋2，∵1＜x＜2，且a＞在x∈（1，2）時(shí)恒成立， ……6分又 ∴a≥3 ……9分p∪q是真命題，故p真或q真，所以有＜a＜3或a≥3 ……11分所以a的取值范圍是a＞ ……12分17. 解:(1)依題意知, ∵,. ∴所求橢圓的方程為. ……3分（2）∵ 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴ 解得：，. ∴. ……10分∵ 點(diǎn)在橢圓:上,∴, 則.∴的取值范圍為. ……12分18. （1）由曲線C與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，知方程組有兩個(gè)不同的解，消去y并整理得： 得且雙曲線的離心率∵∴即離心率e的取值范圍為. ……6分（2）設(shè)∵,∴，得由于是方程①的兩個(gè)根，∴即， 得，解得 ……12分19. 解（1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AG，又PD⊥AG ∴AG⊥平面PCD …………2分作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ∴EF⊥平面PCD ∴EF∥AG又AG 面PEC，EF 面PEC，∴AG∥平面PEC ………………4分（2）由（1）知A、E、F、G四點(diǎn)共面，又AE∥CD ∴ AE∥平面PCD∴AE∥GF ∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE＝GF …………5分∵PA＝3，AB＝4 ∴PD＝5，AG＝，又PA2＝PG?PD ∴PG ……………………6分又 ∴ ∴ ………………8分（3）∵EF∥AG , 所以AG與平面PAC所成角等于EF與平面PAC所成的角 ，過(guò)E作EO⊥AC于O點(diǎn)，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF是EF在平面PAC內(nèi)的射影∴∠EFO即為EF與平面PAC所成的角 ……10分， 又EF＝AG ∴ 所以AG與平面PAC所成角的正弦值等于 ………………13分20. (1)證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，∴。在正方形中，，∵，∴平面.∵平面，∴平面平面。 ……………………………………………6分（2）∵平面，平面，∴�！酁閳A的直徑，即.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，在△中，，在△中，，由，解得，。 ∴。過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連結(jié)，由(1)知平面�！咂矫�， ∴�！撸�，∴平面�！咂矫�，∴�！嗍嵌�面角的平面角�！�………………………………10分在△中，，，，∵，∴。 在△中，，,∴。故二面角的平面角的正切值為。 …………………………13分21.（1）設(shè)直線的方程為.由 可得 .設(shè)，則.-------3分∴ ∵.又當(dāng)垂直于軸時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸，顯然.綜上，. ----------8分（2）=.當(dāng)垂直于軸時(shí)，.∴面積的最小值等于. -----------11分（3）推測(cè)：①；②面積的最小值為. ----------- 13分4. （1）由題意可得點(diǎn)M（x,y）到兩定點(diǎn)F1（0，）、F2（0，-）的距離和為4，故軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為 x2+=1.（2）顯然x=-2與曲線C無(wú)交點(diǎn)，故直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=k(x+2),并設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x1,y1）、B（x2,y2）.由得（4+k2）x2+4 k2x+4 （k2-1）=0△=16k4-16（4+ k2）（k2-1）=-16(3 k2-4)＞0 k2＜∴x1+x2=- ① x1x2= ②∵=+ ∴四邊形OAPB為平行四邊形若存在直線L使得四邊形OAPB為矩形，則?=0∴x1x2+ y1y2=（1+ k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=0 ③將①②代入③解得k2=設(shè)P（x0,y0），則x0= x1+x2=-,故點(diǎn)P不在直線x=-上即不存在這樣的直線L使得四邊形OAPB為矩形.另解提示:解答第(2)題時(shí),如果先利用OP中點(diǎn)即為AB的中點(diǎn),可以求得k2=.與上面的解法一樣還可求得k2=,這是不可能的,所以不存在這樣的直線L使得四邊形OAPB為矩形PAGDCBEEBCDGAPoF湖南省益陽(yáng)市一中2013-2014學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（文）試題
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