高二上學期第一次月考數(shù)學（理）試題（4-8班）一.選擇題（每小題5分，共50分）1．兩條異面直線所成角的范圍是（　　 ）A． B. C. D.2．一條直線上有相異三個點A、B、C到平面α的距離相等，那么直線l與平面α的位置關(guān)系是(　 　)A．lα B．lα C．l與α相交但不垂直 D．lα或lα3．如圖所示，已知PA垂直于ABC所在平面，且ACB＝90°，連結(jié)PB、PC，則圖形中互相垂直的平面有(　 　)A．一對 B．兩對 C．三對 D．四對．如圖在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC＝90°，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A．直線AB上 　　B．直線BC上C．直線AC上 　D．ABC內(nèi)部．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為＝(　 　)A. B. C. D.第3題圖 第4題圖 第5題圖6．有以下四個命題：其中真命題的序號是 （　 ）①若且，則； ②若且，則；③若且，則；④若且，則．①② ③④ ①④ ②③7．如圖：四面體P－ABC為正四面體，M為PC的中點，則BM與AC所成的角的余弦值為(　　)A. B. C. D．08．△ABC兩直角邊分別為3、4，，則點P 到的距離是（） A． B． C． D．2 9．如圖，四面體的六條邊均相等，分別是的中點，則下列四個結(jié)論中不成立的是 ( ) A．平面平面 B．平面C．//平面 D．平面平面10．正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為2，E是邊BC的中點，動點P在表面上運動，并且總保持PEAC，則動點P的軌跡的周長為(　　)A.＋2 B.＋C.＋ D.二.填空題（每小題4分，共28分）11．已知兩平面的法向量分別為m＝(1,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角大小為________．．正四面體ABCD棱長為2，E、F分別為BC、AD中點，則EF的長為________．．如圖，平面ABC平面BDC，BAC＝BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.．棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C、M、D1作正方體的截面，則截面的面積是________．．，這個長方體對角線的長是 ．16．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：AB⊥EF；AB與CM所成的角為60°；EF與MN是異面直線；MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________．18、（本小題14分）在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB和CD成60°角(見下圖). 求B、D間的距離．19、（本小題14分）如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E、F分別為AB、SC的中點．求證：EF平面SAD.如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，直線AB、BC、AD、DC分別與平面α相交于點E、G、H、F.求證：E、F、G、H四點共線(在同一條直線上)．PA=AD=2，BD=.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大�。唬á螅┣簏cC到平面PBD的距離.22、（本小題15分）如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求證：平面PCD平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大小；(3)求四棱錐P-ACDE的體積．60°或120° ______ 13. a 14. 15. ______ 16. __①③_______17. ____①③④?②或解析：ACD＝90°， ?＝0.同理?＝0. AB和CD成60°角，〈，〉＝60°或120°. ＝＋＋， 2＝2＋2＋2＋2?＋2?＋2?＝2＋2＋2＋2?＝3＋2×1×1×cos 〈，〉＝ ＝2或，即B、D間的距離為2或.19、（本小題14分）如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E、F分別為AB、SC的中點．求證：EF平面SAD.證明：法一：作FGDC交SD于點G，則G為SD的中點．連接AG，F(xiàn)G?CD，又CD?AB，且E為AB的中點，故FG?AE，四邊形AEFG為平行四邊形． EF∥AG，又 AG?平面SAD，EF?平面SAD， EF∥平面SAD.法二：取線段CD的中點M，連接ME、MF， E、F分別為AB、SC的中點， ME∥AD，MFSD，又 ME，MF?平面SAD， ME∥平面SAD，MF平面SAD， ME、MF相交， 平面MEF平面SAD， EF?平面MEF， EF∥平面SAD.PA=AD=2，BD=.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大�。唬á螅┣簏cC到平面PBD的距離.方法一：證：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD為正方形，因此BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BD(平面ABCD，∴BD⊥PA . 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC. 解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD為PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，知∠PDA為二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450 . （Ⅲ）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，設(shè)C到面PBD的距離為d，由，有， 即，得 方法二：證：（Ⅰ）建立如圖所示的直角坐標系，則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴ ∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得. 設(shè)平面PCD的法向量為，則，即，∴ 故平面PCD的法向量可取為 ∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量. 設(shè)二面角P—CD—B的大小為(，依題意可得，∴( = 450 . （Ⅲ）由（Ⅰ）得，設(shè)平面PBD的法向量為，則，即，∴x=y=z，故平面PBD的法向量可取為. ∵，∴C到面PBD的距離為22、（本小題15分）如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC＝45°，AB＝2，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求證：平面PCD平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大�。�(3)求四棱錐P-ACDE的體積．解析：(1)在ABC中，因為ABC＝45°，BC＝4，AB＝2，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cos 45°＝8，因此AC＝2. 故BC2＝AC2＋AB2，所以BAC＝90°.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC.又PA、AC平面PAC，且PA∩AC＝A，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)法一：因為PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，因此PB＝＝4.又ABCD.所以點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離．由于CD平面PAC，在RtPAC中，PA＝2，AC＝2，所以PC＝4.故PC邊上的高為2，此即為點A到平面PCD的距離．所以B到平面PCD的距離為h＝2.設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為θ，則sin θ＝＝＝，又θ，所以θ＝.法二：由(1)知AB、AC、AP兩兩相互垂直，分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由于PAB是等腰三角形，所以PA＝AB＝2，又AC＝2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)，因為ACED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形．因為AE＝2，ABC＝45°，AEBC，所以BAE＝135°，因此CAE＝45°，故CD＝AE?sin 45°＝2×＝，所以D(－，2，0)．因此＝(0，－2，2)，＝(－，0,0)，設(shè)m＝(x，y，z)是平面PCD的一個法向量，則m?＝0，m?＝0，解得x＝0，y＝z，取y＝1，得m＝(0,1,1)，又＝(－2，0,2)，設(shè)θ表示向量與平面PCD的法向量m所成的角，則cos θ＝＝，所以θ＝，因此直線PB與平面PCD所成的角為.(3)因為ACED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形．因為AE＝2，ABC＝45°，AEBC，所以BAE＝135°，因此CAE＝45°，故CD＝AE?sin 45°＝2×＝，ED＝AC－AE?cos 45°＝2－2×＝，所以S四邊形ACDE＝×＝3.又PA平面ABCDE，所以VP-ACDE＝×3×2＝2.！第10頁 共11頁學優(yōu)高考網(wǎng)��！xCBAPDzyBCEFDAP浙江省舟山市嵊泗中學2015-2016學年高二上學期第一次月考數(shù)學（理）試題（4-8班）
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