指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是描述現(xiàn)實中某些變化規(guī)律的重要的數(shù)學模型，是高中階段學習的三類重要且常用的基本初等函數(shù)，也是進一步學習數(shù)學的基礎。本章中，學生將在第一章學習函數(shù)概念的基礎上，通過三個具體的基本初等函數(shù)的學習，進一步理解函數(shù)的概念與性質(zhì)，學習用函數(shù)模型研究和解決一些實際問題的方法。
一、內(nèi)容和課程學習目標
本章主要學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的概念和性質(zhì)。通過本章學習，應使學生達到以下的學習目標：
1．了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。
2．理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。
3．理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。
4．在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。
5．理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用。
6．通過具體實例，直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關系，初步理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。
7．知道指數(shù)函數(shù)y=ax 與對數(shù)函數(shù)y=loga x互為反函數(shù)（a > 0, a≠1）。
8．通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的圖象，了解它們的變化情況。
二、內(nèi)容安排
全章分為三節(jié)，教學時間約需15課時，具體分配如下（僅供參考）：
2．1 指數(shù)函數(shù) 約6課時
2．2 對數(shù)函數(shù) 約6課時
2．3 冪函數(shù) 約1課時
小結(jié) 約2課時
本章知識結(jié)構(gòu)如下：
1．本章首先涉及指數(shù)冪的擴充。學生在初中學習了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學習了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪，學習了整數(shù)指數(shù)冪的運算法則．有了這些知識作準備，教科書通過實際問題引出了分數(shù)指數(shù)冪，說明了擴張指數(shù)取值范圍的必要性，由此先將平方根與立方根的概念擴充到n次方根，將二次根式的概念擴充到一般根式的概念，然后進一步探究了分數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，最后通過有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪，通過一個實例介紹了無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的范圍擴充到了實數(shù)。
2．指數(shù)函數(shù)是高中新引進的第一個基本初等函數(shù)，因此，教科書先給出了指數(shù)函數(shù)的實際背景，然后對指數(shù)函數(shù)概念的建立、指數(shù)函數(shù)圖象的繪制、指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與指數(shù)函數(shù)的初步應用，作了完整的介紹。指數(shù)函數(shù)是本章的重點內(nèi)容之一．
3．教科書從具體問題引進對數(shù)概念。從對數(shù)概念的建立過程可以看出，教科書是從指數(shù)運算與對數(shù)運算的互逆關系來建立對數(shù)概念的（這與歷史上對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)不同），這為學生學習時發(fā)現(xiàn)與論證對數(shù)的運算性質(zhì)提供了方便。與傳統(tǒng)教科書另一個較明顯的區(qū)別是，這里加強了對數(shù)的實際應用與數(shù)學文化背景。
4．對數(shù)函數(shù)同指數(shù)函數(shù)一樣，是以對數(shù)概念和運算法則作為基礎講授的．對數(shù)函數(shù)的研究過程也同指數(shù)函數(shù)的研究過程一樣，目的是讓學生對建立和研究一個具體函數(shù)的方法有較完整的認識。在學習了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)后，以兩個底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)介紹了反函數(shù)的概念。對一般的反函數(shù)概念，教科書根據(jù)《標準》的要求沒有作更多的介紹，這也是與傳統(tǒng)教科書有區(qū)別的另一個地方。
5．冪函數(shù)是實際問題中常見的一類函數(shù)，教科書是從具體問題中歸納了以1、2、3、 、－1這五個數(shù)作為指數(shù)的冪函數(shù)y=x， ，并通過它們的圖象歸納出這五個冪函數(shù)的基本性質(zhì)。
三、本章編寫中考慮的幾個問題
1.以適當?shù)膯栴}帶動學生的學習，使他們在解決問題的過程中自主地建構(gòu)知識
問題是思維的動力，是生長新思想、新方法與新知識的種子。課程內(nèi)容“問題化”，實際上是將那種從定義到概念到定理，再用概念和原理解決問題的“演繹式”教材體系，轉(zhuǎn)化為問題引導的，體現(xiàn)知識發(fā)生發(fā)展過程的，從大量的、豐富的具體事例中通過歸納概括而獲得數(shù)學的概念與法則的“歸納式”教材體系。這樣的轉(zhuǎn)化有利于學生學習方式的改進，能促使他們積極主動學習。本章充分關注高中學生的心理發(fā)展和分析能力、思維能力明顯增強的特點，強調(diào)以問題激發(fā)學生的學習動機和興趣，引起學生的“認知沖突”，使他們帶著問題學習。例如，在“指數(shù)”與“指數(shù)函數(shù)”的內(nèi)容中，教科書先給出了兩個實際例子：GDP的增長問題、碳-14的衰減問題。前一個問題是為了讓學生回顧初中已經(jīng)學習過的整數(shù)指數(shù)冪，體會其中的函數(shù)模型；后一個問題是為了讓學生進一步感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的強烈欲望，為新知識的學習作鋪墊。
又如，在2.1.2的“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”的學習中，教科書安排了問題“例8 截止到1999年底，我國人口約13億。如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過20年后，我國人口約為多少（精確到億）？”在學習“對數(shù)”概念時，教科書首先提出的問題是：“在2.1.2的例8中，我們能從關系中，算出任意一個年頭的人口總數(shù)。反之，如果問‘哪一年的人口數(shù)約為18億，20億，30億……？’該如何解決？”，這樣的問題可以使學生看到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究源于社會生活、生產(chǎn)的需要，可以促進學生在解決問題的過程中理解知識。
2．強調(diào)學生的動手操作和主動參與，讓他們在觀察、操作、探究等活動中歸納和發(fā)現(xiàn)知識與結(jié)論，使學生學習方式的改進落在實處
為了促進學生主動學習，提高他們分析問題和解決問題的能力，教科書充分重視為學生提供動手操作與主動參與的機會。例如，在“無理數(shù)指數(shù)冪”的學習中，不僅讓學生根據(jù)提供的數(shù)據(jù)表格，觀察無理指數(shù)冪是怎樣用有理指數(shù)冪來逼近的，同時還安排了“思考”，讓學生自己動手制表、觀察并說明無理指數(shù)冪的含義。又如，在繪制指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的過程中，教科書沒有提供完整的自變量與函數(shù)值的對應值表，而是留空讓學生自己填充。再如，在“冪函數(shù)”的基本性質(zhì)的處理上，教科書設計了如下活動：
探究 觀察圖2.3-1，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表內(nèi)：
定義域
值域
奇偶性
單調(diào)性
定點
3. 積極探索數(shù)學課程與信息技術的整合，適當體現(xiàn)信息技術的應用
為了更好地發(fā)揮信息技術的作用，為學生進行自主探究、理解數(shù)學本質(zhì)提供有力的認知工具，本章加強了信息技術與課程內(nèi)容的整合。如“用有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪”中的近似計算，利用“碳－14”含量測定生物體死亡時間等。特別是在利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)的內(nèi)容中，教科書安排了以下的內(nèi)容：
探究 選取底數(shù)（ ）的若干個不同的值，在同一直角坐標系內(nèi)作出相應的指數(shù)函數(shù)的圖象。觀察圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同特征？
探究 選取底數(shù)（）的若干個不同的值，在同一直角坐標系內(nèi)作出相應的對數(shù)函數(shù)的圖象。觀察圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同特征？
上述探究活動，為學生使用信息技術發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)提供了機會，可以讓學生在信息技術構(gòu)建的動態(tài)環(huán)境下，通過觀察函數(shù)圖象的連續(xù)變化，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)。
4. 重視數(shù)學知識與實際問題的聯(lián)系，關注數(shù)學應用，讓學生體會數(shù)學是自然的并且是有用的
為了使學生感受指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實和數(shù)學背景，使學生感到引進和研究它們的必要性，在本章的每一個概念的產(chǎn)生過程中，都注意了通過具體實例，展示函數(shù)模型的實際背景，使學生理解不同的變化現(xiàn)象應當用不同的函數(shù)模型來描述。同時，在例題、練習、習題與復習參考題中，安排了較多的實際應用問題，如人口問題、碳－14考古問題、增長率問題、細胞分裂問題、地震震級計算問題、溶液酸度的測量問題、臭氧層保護問題等，以加強本章研究的基本初等函數(shù)與現(xiàn)實的聯(lián)系性。
四、對教學的幾個建議
1．突出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是現(xiàn)實世界中的重要數(shù)學模型，強調(diào)它們的實際背景和應用價值。
把指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型來學習，要求結(jié)合實際問題，感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，強調(diào)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類不同的函數(shù)增長模型，這是本章學習要求的重要變化。因此，要加強讓學生通過具體實例了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型實際背景的教學；要利用適當?shù)氖吕�，讓學生體會、認識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義；另外，還可以要求學生通過收集現(xiàn)實生活中普遍使用的函數(shù)模型實例，去了解這些函數(shù)模型的廣泛應用。
2．引導學生體會數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的嚴謹性。
本章中，指數(shù)冪概念及其運算性質(zhì)的拓展內(nèi)涵了數(shù)學研究中對數(shù)學知識發(fā)展的邏輯合理性、嚴謹性的要求，教學中要引導學生認真體會。指數(shù)冪的運算性質(zhì)，是在根式與分數(shù)指數(shù)冪的基礎上，先將整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)；然后在有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪的思想指導下，再將有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到了實數(shù)范圍。指數(shù)冪的運算性質(zhì)的每一次推廣，都需要考慮嚴謹性的要求。
3．充分發(fā)揮函數(shù)圖象的幾何直觀作用，加強數(shù)形結(jié)合思想教學。
數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學思想方法是本章學習中的重要思想方法，它們對于理解本章的幾個基本初等函數(shù)的性質(zhì)（例如增長模式）是十分重要的，同時信息技術又使得函數(shù)作圖變得方便、快捷，并且可以構(gòu)建一種動態(tài)環(huán)境，為學生利用圖象直觀研究函數(shù)性質(zhì)提供了有力工具。因此，教學中應充分注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用，讓學生自己作出函數(shù)圖像，通過觀察圖象變化規(guī)律來研究函數(shù)的性質(zhì)。
4．恰當使用信息技術
教科書雖然沒有明確提示利用信息技術研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，但本章中有許多內(nèi)容適合使用信息技術，例如指數(shù)、對數(shù)值的計算；借助計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長的差異；借助計算器或計算機畫出具體的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解它們的單調(diào)性與特殊點，等等。因此，只要條件允許，教學中就應當充分使用信息技術。
5．注意把握教學要求
與以往教材比較，本章在內(nèi)容、要求以及處理方式上都發(fā)生了許多變化，歸納起來有如下幾點：
�。�1）以往教材要求掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，不要求學生了解無理指數(shù)冪，不要求用有理指數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪；本章要求通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算，并體會“用有理數(shù)逼近無理數(shù)”的思想。
�。�2）以往教材在對數(shù)換底公式上沒有要求；這里要求學生知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)。
�。�3）以往教材要求掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；這里要求能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。
�。�4）以往教材要求了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)；這里對反函數(shù)的處理，只要求以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解，只通過比較同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，說明指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=loga x互為反函數(shù)（a > 0,a≠1），不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù)。
�。�5）以往教材不要求學習冪函數(shù)；這里要求通過實例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的圖象，了解它們的變化情況。
�。�6）以往教材對指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的應用沒有給出明確的要求；這里要求學生在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，體驗指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系及其在刻畫現(xiàn)實問題中的作用。
教學中要切實關注上述變化，把主要精力用在讓學生通過具體實例了解指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型的實際背景，通過實例體會、認識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型的增長含義，以及了解這些函數(shù)模型的廣泛應用上，而不要過分地追求那些細枝末節(jié)（如求定義域、值域，討論復合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等）。
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