【教學(xué)目標(biāo)】

 

1.知識與技能：從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟。

 

2.過程與方法：通過觀察函數(shù)圖象的變化趨勢——上升或下降，初步體會函數(shù)單調(diào)性，然后數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生嘗試歸納函數(shù)單調(diào)性的定義，并能利用圖像及定義解決單調(diào)性的證明。

 

3.情感、態(tài)度與價值觀：在對函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程，增強學(xué)生由現(xiàn)象猜想結(jié)論的能力。

 

【教學(xué)重點】  函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷。

 

【教學(xué)難點】  根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

 

【教學(xué)方法】  教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)。

 

【教學(xué)工具】  教學(xué)多媒體。

 

【教學(xué)過程】

 

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

 

師：同學(xué)們剛剛從樓下走到了教室，如果把每一個樓梯的臺階都標(biāo)上數(shù)字，我們一起來描述一下從樓下走到教室這一過程中，同學(xué)們的位置變化。

 

 

生：隨著樓梯臺階標(biāo)號的增大，我們所處的位置在不斷地上升。

 

師：（積極反饋，全班鼓掌表揚）反之，我們下樓時，我們的位置顯然是在下降的。

 

師：（閱讀教材，人教版節(jié)首內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生看圖）結(jié)合上下樓的問題，引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考。

 

 

觀察圖中的函數(shù)圖象，隨著函數(shù)自變量的增大（減小），你能得到什么信息？

 

二、歸納探索，形成概念

 

我們在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，了解了函數(shù)的定義域及值域，本節(jié)內(nèi)容其實就是針對自變量與函數(shù)值之間的變化關(guān)系進行的專題研究之一──函數(shù)單調(diào)性的研究。

 

同學(xué)們在初中已經(jīng)對函數(shù)隨著自變量取值的變化函數(shù)值相應(yīng)的變化情況有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)就是通過形象的函數(shù)圖象變化情況，為函數(shù)單調(diào)性建立嚴(yán)格定義。

 

1.借助圖象，直觀感知

 

首先，我們來研究一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性。

 

 

 

 

師：在沒有學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義之前，函數(shù)的單調(diào)性可以理解為，

 

 

師：根據(jù)圖象，請同學(xué)們寫出你對這兩個函數(shù)單調(diào)性的描述。

 

生：（獨立完成，小組內(nèi)互相檢查，然后閱讀教材，對比參照）。

 

2.抽象思維，形成概念

 

函數(shù)的性質(zhì)離不開函數(shù)的定義域，在研究函數(shù)單調(diào)性時，我們也必須充分考慮到這一點，

 

在函數(shù)的定義區(qū)間上描述隨著自變量值的變化，函數(shù)值的變化情況。

 

師：思考，如何利用函數(shù)解析式來描述函數(shù)隨著自變量值的變化，函數(shù)值的變化情況？（注意函數(shù)的定義區(qū)間）

 

生：在上，隨著自變量值的增大，函數(shù)值逐漸減��；在上，隨著自變量值的增大，函數(shù)值逐漸增大。

 

師：如果給出函數(shù)，你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出函數(shù)單調(diào)性的定義嗎?

 

生：（師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為：

 

①如果對于定義域上某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

 

②如果對于定義域上某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。

 

三、掌握證法，適當(dāng)延展

 

【例1】下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

 

 

【例2】物理學(xué)中的玻意耳定律（為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積減小時，壓強將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。

 

師：在解決完成這個例題后，根據(jù)解題步驟歸納總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般性算法步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論。

 

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

 

學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受，共同完成小結(jié)。

 

(1) 利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)性；

 

(2) 利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性；

 

(3) 證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論。

 

五、布置作業(yè)，拓展探究

 

課后探究：研究函數(shù)的單調(diào)性。

 

六、板書設(shè)計

函數(shù)的單調(diào)性

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

 

 

二、歸納探索，形成概念

 

三、掌握證法，適當(dāng)延展

 

【例1：】

 

【例2：】

四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識

 

七、教學(xué)反思

 

在有限的課堂時間，使學(xué)生掌握利用數(shù)形結(jié)合的思想方法準(zhǔn)確理解函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念，加深對基本概念的認(rèn)識。首先，展示一個學(xué)生都熟悉無比的情境，在這個情境中讓學(xué)生直觀地理解上升（遞增）或下降（遞減）的現(xiàn)象，然后針對課本所給的三個圖象，結(jié)合情境中的直觀現(xiàn)象，讓學(xué)生描述這三個函數(shù)圖象的特征。學(xué)生在描述函數(shù)圖象特征（上升或下降）的時候較為順利，但總覺得有錯誤，可又說不清理由。此時，教師指出：在敘述函數(shù)圖像特征時要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，即觀察的順序應(yīng)沿x軸正方向，自變量從左向右變化時，函數(shù)值（圖像）的變化趨勢，這樣即可得到正確答案。學(xué)生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。接下來，單刀直入地提出函數(shù)的單調(diào)性這個函數(shù)的性質(zhì)。在直觀上承認(rèn)這一性質(zhì)以后，由學(xué)生按學(xué)習(xí)小組，仿照剛才的分析去研究一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性。繼而提出：圖象特征如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言？經(jīng)過學(xué)生探究思考，教師啟發(fā)，學(xué)生歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性的定義。結(jié)合圖像，學(xué)生通過自主合作探索，自己給出了函數(shù)單調(diào)性的定義。然后讓學(xué)生打開書本，與書上的表述比較，肯定他們的成果，并提示注意書本敘述的精確用語。本課學(xué)生印象深刻，理解深入，合作探究激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力與自信心。

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