一、選擇題

1.下列結(jié)論正確的是(     ).

A.當(dāng)且時(shí)，；    B.當(dāng)時(shí)，；

C.當(dāng)時(shí)，的最小值為2；      D.當(dāng)時(shí)，的最小值為2

考查目的：考查基本不等式及其在求最值中的應(yīng)用.

答案：B.

    解析：A選擇項(xiàng)中可能為負(fù)，不適合基本不等式；C，D選擇項(xiàng)中適合基本不等式，但取最小值等號(hào)取不到.只有B正確.

 

2.(2009天津理)設(shè)，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為(     ).

A.8            B.4           C.1          D.

考查目的：考查等比中項(xiàng)的概念、指數(shù)的運(yùn)算，以及基本不等式求最值的運(yùn)用.

答案：C.

解析：∵，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“＝”號(hào)，故選擇C.

 

3.(2007海南、寧夏理)已知，，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是(    )

A.           B.                C.          D.

考查目的：考查等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用.

答案：D.

解析：∵，，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，∴，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

 

二、填空題

4.(2010山東理)若對(duì)任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是          .

考查目的：考查分式不等式恒成立問題的解法，以及利用基本不等式求最值等知識(shí).

答案：.

解析：因?yàn)�，所�?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，則，即的最大值為，故.

 

5.(2011江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，則線段長的最小值是          .

考查目的：考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本不等式的應(yīng)用.

答案：4.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

 

6.已知，則的最大值是           .

考查目的：考查基本不等式的應(yīng)用、分析判斷能力和運(yùn)算求解能力.

答案：2.

解析：∵，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值2.

 

三、解答題

7.已知，，是等邊的頂點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上，且將的面積二等分，記的橫坐標(biāo)為，.

⑴寫出的表達(dá)式；⑵求的最小值.

考查目的：考查余弦定理、函數(shù)的解析式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)算求解能力.

答案：⑴；⑵當(dāng)時(shí)，.

解析：⑴∵，又∵，解得，∴.

⑵∵，∴，時(shí)取等號(hào).

 

 

8. 已知，試比較的大小.

考查目的：考查不等式的性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

答案：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

解析：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴①當(dāng)時(shí)，，而由得，∴：②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，，再由①得，于是，∴.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

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