向量的概念：

在數(shù)學當中，我們把這種既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量。

幾何表示：

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向量的數(shù)乘的定義：

我們規(guī)定實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ；

向量的數(shù)乘的長度和方向規(guī)定如下：

（1）；
（2）當λ＞0時，λ的方向與的方向相同；當λ＜0時，λ的方向與的方向相反；當λ＝0時，；注意：λ≠0

數(shù)乘運算的坐標表示：

設(shè)，則。

實數(shù)與向量積的運算律：

（1）；
（2）；
（3）。

向量數(shù)乘運算的理解：

①向量數(shù)乘運算結(jié)果仍然是向量．
②實數(shù)與向量的積的特殊情況：

③實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算，比如無意義。
④由向量數(shù)乘的概念可知其幾何意義，可以把向量a的長度擴大（當時），也可以縮�。ó�時），同時，我們可以不改變向量a的方向，也可以改變向量a的方向（當λ<0時）。

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兩個向量的夾角的定義：

對于非零向量，，作稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝π時，，反向，
當時，垂直。

兩個向量數(shù)量積的含義：

如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：，即。
叫在上的投影。
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。

兩個向量數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積等于的模與在上的投影的乘積。

向量數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)兩個非零向量
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）當，同向時，；當與反向時，；當為銳角時，為正且，不同向，；當為鈍角時，為負且，不反向，。

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