2014-2015學(xué)年遼寧省大連市莊河二中八年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1．下列長度的三條線段能組成三角形的是（ �。�
A． 3，4，8 B． 5，6，11 C． 1，2，3 D． 5，6，10
2．下列圖形中有穩(wěn)定性的是（ �。�
A． 正方形 B． 長方形 C． 直角三角形 D． 平行四邊形
3．過多邊形的一個頂點可以引出6條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（ �。�
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
4．如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（ �。�
A． 帶①去 B． 帶②去 C． 帶③去 D． 帶①和②去
5．如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（ ）
A． 95° B． 120° C． 135° D． 無法確定
6．如圖，△ABC中，AD⊥BC，D為BC的中點，以下結(jié)論：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分線．
其中正確的有（ �。�
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
7．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為（ �。�
A． 20° B． 30° C． 35° D． 40°
8．如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（ �。�
A． 30° B． 20° C． 15° D． 14°
二、填空題
9．三角形的兩條邊為2cm和4cm，第三邊長是一個偶數(shù)，第三邊的長是 �。�
10．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為 �。�
11．如圖點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是 �。�
12．如圖，已知AB=AD，需要條件（用圖中的字母表示） 可得△ABC≌△ADC，根據(jù)是 ．
13．如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站．要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 處．
14．如圖，AE=AD，∠B=∠C，BE=6，AD=4，則AC= ．
15．如圖，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分線交于P，∠A=50°，則∠P= �。�
16．如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點P處，已知∠1+∠2=100°，則∠A的大小等于 度．
三、解答題
17．用一條長為18cm細(xì)繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？
18．如圖，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù)．
19．如圖，AB=AC，BD=CD．求證：∠B=∠C．
20．如圖，AD=AE，∠EAB=∠DAC，∠B=∠C．求證：AB=AC．
四、解答題
21．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，AB=DE．求證：FB=CE．
22．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC．
23．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BF=AC，F(xiàn)D=CD．求證：AC⊥BE．
五、解答題
24．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且BD=CD．求證：
（1）BE=CF；
（2）∠ABD+∠ACD=180°．
25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD?BE；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．
26．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
2014-2015學(xué)年遼寧省大連市莊河二中八年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．下列長度的三條線段能組成三角形的是（ �。�
A． 3，4，8 B． 5，6，11 C． 1，2，3 D． 5，6，10
考點： 三角形三邊關(guān)系．
分析： 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析判斷．
解答： 解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得
A中，3+4=7＜8，不能組成三角形；
B中，5+6=11，不能組成三角形；
C中，1+2=3，不能夠組成三角形；
D中，5+6=11＞10，能組成三角形．
故選D．
點評： 本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條線段就能夠組成三角形．
2．下列圖形中有穩(wěn)定性的是（ �。�
A． 正方形 B． 長方形 C． 直角三角形 D． 平行四邊形
考點： 三角形的穩(wěn)定性．
分析： 穩(wěn)定性是三角形的特性．
解答： 解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可得四個選項中只有直角三角形具有穩(wěn)定性．
故選：C．
點評： 穩(wěn)定性是三角形的特性，這一點需要記憶．
3．過多邊形的一個頂點可以引出6條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（ �。�
A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
考點： 多邊形的對角線．
分析： 設(shè)多邊形的邊數(shù)是x，根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n?3）條對角線可得x?3=6，再解方程即可．
解答： 解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是x，由題意得：x?3=6，
解得：x=9，
故選：C．
點評： 此題主要考查了多邊形的對角線，關(guān)鍵是掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n?3）條對角線．
4．如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（ �。�
A． 帶①去 B． 帶②去 C． 帶③去 D． 帶①和②去
考點： 全等三角形的應(yīng)用．
專題： 應(yīng)用題．
分析： 此題可以采用全等三角形的判定方法以及排除法進(jìn)行分析，從而確定最后的答案．
解答： 解：A、帶①去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不能得到與原來一樣的三角形，故A選項錯誤；
B、帶②去，僅保留了原三角形的一部分邊，也是不能得到與原來一樣的三角形，故B選項錯誤；
C、帶③去，不但保留了原三角形的兩個角還保留了其中一個邊，符合ASA判定，故C選項正確；
D、帶①和②去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，同樣不能得到與原來一樣的三角形，故D選項錯誤．
故選：C．
點評： 主要考查學(xué)生對全等三角形的判定方法的靈活運用，要求對常用的幾種方法熟練掌握．
5．如圖，點O是△ABC內(nèi)一點，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，則∠BOC等于（ �。�
A． 95° B． 120° C． 135° D． 無法確定
考點： 三角形內(nèi)角和定理．
專題： 探究型．
分析： 先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，再根據(jù)∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°即可得出結(jié)論．
解答： 解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB=180°?∠A?∠1?∠2=180°?80°?15°?40°=45°，
∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，
∴∠BOC=180°?（∠OBC+∠OCB）=180°?45°=135°．
故選C．
點評： 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，即三角形內(nèi)角和是180°．
6．如圖，△ABC中，AD⊥BC，D為BC的中點，以下結(jié)論：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分線．
其中正確的有（ �。�
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 直角三角形全等的判定；全等三角形的性質(zhì)．
分析： 先運用SAS證明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正確；（2）AB=AC正確；（3）∠B=∠C正確；
∠BAD=∠CAD（4）AD是△ABC的角平分線．即可找到答案．
解答： 解：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴（1）△ABD≌△ACD正確；
∴（2）AB=AC正確；
（3）∠B=∠C正確；
∠BAD=∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分線．
故選D．
點評： 本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，及全等三角形性質(zhì)的運用．
7．如圖，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，則∠ACA′的度數(shù)為（ �。�
A． 20° B． 30° C． 35° D． 40°
考點： 全等三角形的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 本題根據(jù)全等三角形的性質(zhì)并找清全等三角形的對應(yīng)角即可．
解答： 解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故選：B．
點評： 本題考查了全等三角形的判定及全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用，利用全等三角形的性質(zhì)求解．
8．如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（ ）
A． 30° B． 20° C． 15° D． 14°
考點： 平行線的性質(zhì)．
分析： 延長兩三角板重合的邊與直尺相交，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠2，再利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．
解答： 解：如圖，∠2=30°，
∠1=∠3?∠2=45°?30°=15°．
故選C．
點評： 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的知識，熟記平行線的性質(zhì)，三角板的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．三角形的兩條邊為2cm和4cm，第三邊長是一個偶數(shù)，第三邊的長是 4cm�。�
考點： 三角形三邊關(guān)系．
分析： 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系先確定第三邊的范圍，進(jìn)而就可以求出第三邊的長．
解答： 解：設(shè)第三邊為acm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：4?2＜a＜4+2．
即：2＜a＜6，
由于第三邊的長為偶數(shù)，
則a可以為4cm．
故答案為：4cm．
點評： 此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
10．一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數(shù)為 6 ．
考點： 多邊形內(nèi)角與外角．
專題： 計算題．
分析： 利用多邊形的外角和以及多邊形的內(nèi)角和定理即可解決問題．
解答： 解：∵多邊形的外角和是360度，多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，
則內(nèi)角和是720度，
720÷180+2=6，
∴這個多邊形是六邊形．
故答案為：6．
點評： 本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
11．如圖點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是 3�。�
考點： 角平分線的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，點P到AB的距離=PE=3．
解答： 解：∵P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E，PE=3，
∴點P到AB的距離=PE=3．
故答案為：3．
點評： 此題主要考查角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
12．如圖，已知AB=AD，需要條件（用圖中的字母表示） BC=DC 可得△ABC≌△ADC，根據(jù)是 SSS�。�
考點： 全等三角形的判定．
分析： 添加條件BC=DC，可直接利用SSS定理判定△ABC≌△ADC．
解答： 解：添加條件BC=DC，
∵在△ABC和△ADC中 ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
故答案為：BC=DC；SSS．
點評： 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
13．如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站．要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有 4 處．
考點： 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；直線與圓的位置關(guān)系．
專題： 應(yīng)用題．
分析： 由三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點滿足條件；然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，這樣的點有3個，可得可供選擇的地址有4個．
解答： 解：∵△ABC內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，
∴△ABC內(nèi)角平分線的交點滿足條件；
如圖：點P是△ABC兩條外角平分線的交點，
過點P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴點P到△ABC的三邊的距離相等，
∴△ABC兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點有3個；
綜上，到三條公路的距離相等的點有4個，
∴可供選擇的地址有4個．
故填4．
點評： 此題考查了角平分線的性質(zhì)．注意掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，小心別漏解．
14．如圖，AE=AD，∠B=∠C，BE=6，AD=4，則AC= 10 ．
考點： 全等三角形的判定．
分析： 先根據(jù)已知證得△ABD≌△ACE，得出AB=AC．進(jìn)而推出BE=DC，那么就可以求得AC=10．
解答： 解：∵AE=AD，∠B=∠C，∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE
∴AB=AC
∵AE=AD
∴BE=DC
∴AC=AD+BE=10．
故填10．
點評： 此題主要考查全等三角形的判定，常用的判定有SAS，AAS，SSS，HL等．做題時要結(jié)合圖形得到答案．
15．如圖，已知△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分線交于P，∠A=50°，則∠P= 115°�。�
考點： 三角形內(nèi)角和定理．
分析： 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，根據(jù)角平分線定義得出∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=65°，代入∠P=180°?（∠PBC+∠PCB）求出即可．
解答： 解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于P，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCB= ∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= ×130°=65°，
∴∠P=180°?（∠PBC+∠PCB）=115°，
故答案為：115°．
點評： 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線定義的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，題目比較好，難度適中．
16．如圖，將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點P處，已知∠1+∠2=100°，則∠A的大小等于 50 度．
考點： 三角形內(nèi)角和定理；翻折變換（折疊問題）．
分析： 根據(jù)已知求出∠ADP+∠AEP=360°?（∠1+∠2）=260°，根據(jù)折疊求出∠ADE+∠AED= ×260°=130°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
解答： 解：∵∠1+∠2=100°，
∴∠ADP+∠AEP=360°?（∠1+∠2）=260°，
∵將紙片△ABC沿DE折疊，點A落在點P處，
∴∠ADE= ∠ADP，∠AED= ∠AEP，
∴∠ADE+∠AED= ×260°=130°，
∴∠A=180°?（∠ADE+∠AED）=50°，
故答案為：50．
點評： 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和折疊的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，題目比較好，難度適中．
三、解答題
17．用一條長為18cm細(xì)繩圍成一個等腰三角形．
（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？
（2）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？
考點： 等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．
專題： 分類討論．
分析： （1）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm，根據(jù)周長公式列一元一次方程，解方程即可求得各邊的長；
（2）題中沒有指明4cm所在邊是底還是腰，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，注意利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗．
解答： 解：（1）設(shè)底邊長為xcm，
∵腰長是底邊的2倍，
∴腰長為2xcm，
∴2x+2x+x=18，解得，x= cm，
∴2x=2× = cm，
∴各邊長為： cm， cm， cm．
（2）①當(dāng)4cm為底時，腰長= =7cm；
當(dāng)4cm為腰時，底邊=18?4?4=10cm，
∵4+4＜10，
∴不能構(gòu)成三角形，故舍去；
∴能構(gòu)成有一邊長為4cm的等腰三角形，另兩邊長為7cm，7cm．
點評： 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，在解答此類題目時要注意分類討論，不要漏解．
18．如圖，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù)．
考點： 三角形內(nèi)角和定理．
專題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得∠DBC的度數(shù)．
解答： 解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
則∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC邊上的高，
則∠DBC=90°?∠C=18°．
點評： 此題主要是三角形內(nèi)角和定理的運用．
三角形的內(nèi)角和是180°．
19．如圖，AB=AC，BD=CD．求證：∠B=∠C．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 連接AD，根據(jù)SSS推出△ADC≌△ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可．
解答： 證明：連接AD，
∵在△ADC和△ADB中
∴△ADC≌△ADB（SSS），
∴∠B=∠C．
點評： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
20．如圖，AD=AE，∠EAB=∠DAC，∠B=∠C．求證：AB=AC．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 求出∠EAC=∠DAB，根據(jù)AAS推出△EAC≌△DAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
解答： 證明：∵∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中
∴△EAC≌△DAB（AAS），
∴AB=AC．
點評： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
四、解答題
21．如圖，點B、F、C、E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，AB=DE．求證：FB=CE．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，根據(jù)AAS證出△BAC≌△EDF，推出BC=EF即可．
解答： 證明：∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△BAC和△EDF中
∴△BAC≌△EDF（AAS），
∴BC=EF，
∴BC?FC=EF?FC，
∴FB=CE．
點評： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
22．如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC．
考點： 角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 首先由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，又有BD=CD，可證Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．
解答： 證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
點評： 此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，難度不大．
23．如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BF=AC，F(xiàn)D=CD．求證：AC⊥BE．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 根據(jù)HL證Rt△BDF≌Rt△ADC，推出∠FBD=∠DAC，根據(jù)∠BDF=90°求出∠DBF+∠BFD=90°，推出∠DAC+∠AFE=90°，求出∠AEF=90°即可．
解答： 證明：∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠FBD=∠DAC，
∵∠BDF=90°，
∴∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠BFD=∠AFE，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∴∠AEF=180°?90°=90°，
∴AC⊥BE．
點評： 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．
五、解答題
24．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，且BD=CD．求證：
（1）BE=CF；
（2）∠ABD+∠ACD=180°．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： （1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得DE=DF，可證△BDE≌△CDF，可得BE=CF；
（2）由△BDE≌△CDF可得∠ACD=∠DBE，即可求得∠ABD+∠ACD=180°．
解答： 解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，
∴DE=DF，
在RT△BDE和RT△CDF中，
，
∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），
∴BE=CF；
（2）∵RT△BDE≌RT△CDF，
∴∠ACD=∠DBE，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°．
點評： 本題考查了直角三角形全等的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證RT△BDE≌RT△CDF是解題的關(guān)鍵．
25．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD?BE；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 探究型．
分析： （1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則∠ADC=∠CEB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE?CD=AD?BE．
（3）DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE=BE?AD．證明的方法與（2）相同．
解答： （1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）證明：在△ADC和△CEB中， ，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE?CD=AD?BE；
（3）DE=BE?AD．
易證得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CD?CE=BE?AD．
點評： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)．
26．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．
（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： （1）①根據(jù)時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據(jù)SAS判定兩個三角形全等．
②根據(jù)全等三角形應(yīng)滿足的條件探求邊之間的關(guān)系，再根據(jù)路程=速度×?xí)r間公式，先求得點P運動的時間，再求得點Q的運動速度；
（2）根據(jù)題意結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)：由于點Q的速度快，且在點P的前邊，所以要想第一次相遇，則應(yīng)該比點P多走等腰三角形的兩個腰長．
解答： 解：（1）①∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，點D為AB的中點，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC?BP，BC=8cm，
∴PC=8?3=5cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，
則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，
∴點P，點Q運動的時間 s，
∴ cm/s；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點P與點Q第一次相遇，
由題意，得 x=3x+2×10，
解得 ．
∴點P共運動了 ×3=80cm．
△ABC周長為：10+10+8=28cm，
若是運動了三圈即為：28×3=84cm，
∵84?80=4cm＜AB的長度，
∴點P、點Q在AB邊上相遇，
∴經(jīng)過 s點P與點Q第一次在邊AB上相遇．
點評： 此題主要是運用了路程=速度×?xí)r間的公式．熟練運用全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠分析出追及相遇的問題中的路程關(guān)系．
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