安徽省蕪湖市繁昌三中2015屆九年級上學期第二次月考數(shù)學試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分；每題只有一個選項正確）
1．下列標志中，可以看作是中心對稱圖形的是（）
A． B． C． D．
2．若a是方程2x2?x?3=0的一個解，則6a2?3a的值為（）
A． 3 B． ?3 C． 9 D． ?9
3．已知點A（a，2013）與點A′（?2014，b）是關(guān)于原點O的對稱點，則a+b的值為（）
A． 1 B． 5 C． 6 D． 4
4．二次函數(shù)y=6（x?2）2+1，則下列說法正確的是（）
A． 圖象的開口向下 B． 函數(shù)的最小值為1
C． 圖象的對稱軸為直線x=?2 D． 當x＜2時，y隨x的增大而增大
5．若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別為x1=?2，x2=4，則b+c的值是（）
A． ?10 B． 10 C． ?6 D． ?1
6．如圖，在長70m，寬40m的長方形花園中，欲修寬度相等的觀賞路（如陰影部分所示），要使觀賞路面積占總面積的 ，則路寬x應滿足的方程是（）
A． （40?x）（70?x）=350 B． （40?2x）（70?3x）=2450
C． （40?2x）（70?3x）=350 D． （40?x）（70?x）=2450
7．如圖，在等邊△ABC中，點O在AC上，且AO=3，CO=6，點P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點D恰好落在BC上，則AP的長是（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是（）
A． x＜?1 B． x＞3 C． ?1＜x＜3 D． x＜?1或x＞3
9．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是（）
A． B． C． D．
10．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M，N（點M在點N的上方），若△OMN的面積為S，直線l的運動時間為t 秒（0≤t≤4），則能大致反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．設(shè)x1，x2是方程x（x?1）=3（1?x）的兩根，則|x1?x2|=．
12．如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為．
13．某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車．已知在甲、乙兩地的銷售利潤y（單位：萬元）與銷售量x（單位：輛）之間分別滿足：y1=?x2+10x，y2=2x，若該公司在甲，乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤為 萬元．
14．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E，F(xiàn)，當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），給出以下五個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP；⑤BE+CF=EF；上述結(jié)論中始終正確的有．
三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．解方程：3（x+1）（x?1）+2（x?5）=?7．
16．如圖①，是用3根相同火柴棒拼成的一個三角圖形，記為一個基本圖形，將此基本圖形不斷的復制，使得相鄰的兩個基本圖形的邊重合，這樣得到圖②，圖③…
（1）觀察以上圖形，圖④中所用火柴棒的根數(shù)為，
猜想：在圖n中，所用火柴棒的根數(shù)為（用n表示）；
（2）如圖，將圖n放在直角坐標系中，設(shè)其中第一個基本圖形的中心O1的坐標為（ ，y1），則y1=；O2014的坐標為．
四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標是A（?5，?5），B（?1，?3），C（?3，?1）．
（1）按要求畫出變換后的圖形：
①畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
②以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，把△A1B1C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A2B2C2；
（2）若將△ABC向右平移m個單位，向上平移n個單位，使點C落在△A2B2C2內(nèi)部，指出m、n的取值范圍．
18．關(guān)于x的一元二次方程（k?3）x2?3x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）求當k取何正整數(shù)時，方程的兩根均為整數(shù)．
五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．某商場銷售一種品牌羽絨服和防寒服，其中羽絨服的售價是防寒服售價的5倍還多100元，2015年1月份（春節(jié)前期）共銷售500件，羽絨服與防寒服銷量之比是4：1，銷售總收入為58.6萬元．
（1）求羽絨服和防寒服的售價；
（2）春節(jié)后銷售進入淡季，售價不變，2015年2、3月份羽絨服銷量比上一個月都下滑了m%，結(jié)果3月份羽絨服的銷售總收入為14萬元，求m的值．
20．已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點（0，3a），對稱軸為x=1．
（1）試用含a的代數(shù)式表示b、c．
（2）當拋物線與直線y=x?1交于點（2，1）時，求此拋物線的解析式．
（3）求當b（c+6）取得最大值時的拋物線的頂點坐標．
六、解答題（本題滿分12分）
21．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點，與x軸相交于點E（8，0），拋物線的頂點A在第四象限，點A到x軸的距離AB=4，點P（m，0）是線段OE上一動點，連結(jié)PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，過點C作y軸的平行線交x軸于點G，交拋物線于點D，連結(jié)BC和AD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）當以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．
七、解答題（本題滿分12 分）
22．在等腰△ABC中，AB=AC，邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度m得到線段AD．
（1）如圖1，若∠BAC=30°，30°＜m＜l80°，連接BD，請用含m的式子表示∠DBC的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BAC=60°，0°＜m＜360°，連接BD、DC，直接寫出△BDC為等腰三角形時m所有可能的取值．
（3）如圖3，若∠BAC=90°，射線AD與直線BC相交于點E，是否存在旋轉(zhuǎn)角度m，使AE：BE= ，若存在，求出所有符合條件的m的值，若不存在，請說明理由．
八、解答題（本題滿分14分）
23．已知二次函數(shù)y=mx2?（m?1）x?1．
（1）求證：這個二次函數(shù)的圖象一定與x軸有交點；
（2）若這個二次函數(shù)有最大值0，求m的值；
（3）我們定義：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸正半軸的兩個交點的橫坐標x1、x2（x1＞x2），滿足2＜ ＜3，則稱這個二次函數(shù)與x軸有兩個“夢想交點”．如果二次函數(shù)y=mx2?（m?1）x?1與x軸有兩個“夢想交點”，求m的取值范圍．
安徽省蕪湖市繁昌三中2015屆九年級上學期第二次月考數(shù)學試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分；每題只有一個選項正確）
1．下列標志中，可以看作是中心對稱圖形的是（）
A． B． C． D．
考點： 中心對稱圖形．
分析： 根據(jù)中心對稱圖形的定義，結(jié)合選項所給圖形進行判斷即可．
解答： 解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是中心對稱圖形，故本選項正確；
故選D．
點評： 本題考查了中心對稱圖形的知識，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
2．若a是方程2x2?x?3=0的一個解，則6a2?3a的值為（）
A． 3 B． ?3 C． 9 D． ?9
考點： 一元二次方程的解．
分析： 將a代入方程2x2?x?3=0中，再將其變形可得所要求代數(shù)式的值．
解答： 解：若a是方程2x2?x?3=0的一個根，則有
2a2?a?3=0，
變形得，2a2?a=3，
故6a2?3a=3×3=9．
故選C．
點評： 此題主要考查了方程解的定義及運算，此類題型的特點是，直接將方程的解代入方程中，再將其變形即可求出代數(shù)式的值．
3．已知點A（a，2013）與點A′（? 2014，b）是關(guān)于原點O的對稱點，則a+b的值為（）
A． 1 B． 5 C． 6 D． 4
考點： 關(guān)于原點對稱的點的坐標．
分析： 根據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)解答．
解答： 解：∵點A（a，2013）與點A′（?2014，b）是關(guān)于原點O的對稱點，
∴a=2014，b=?2013，
則a+b的值為：2014?2013=1．
故選：A．
點評： 本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．
4．二次函數(shù)y=6（x?2）2+1，則下列說法正確的是（）
A． 圖象的開口向下 B． 函數(shù)的最小值為1
C． 圖象的對稱軸為直線x=?2 D． 當x＜2時，y隨x的增大而增大
考點： 二次函數(shù)的性 質(zhì)．
分析： A、根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)的符號即可確定其開口方向；
B、根據(jù)此拋物線的解析式和開口方向可以確定二次函數(shù)的最值；
C、根據(jù)此拋物線的解析式可以確定對稱軸方程；
D、利用拋物線的對稱軸方程和開口方向可以確定函數(shù)的增減性．
解答： 解：A、a=6＞0，開口向上，故選項錯誤；
B、根據(jù)該拋物線的解析式知道：二次函數(shù)有最小值1，故選項正確；
C、根據(jù)該拋物線的解析式知道：拋物線的對稱軸是直線x=1，故選項錯誤；
D、根據(jù)該拋物線的解析式知道：開口方向上，當x＜2時，y隨x的增大而增大，故選項錯誤．
故選B．
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，解題關(guān)鍵是會根據(jù)拋物線的解析式確定對稱軸方程、頂點坐標及最值．
5．若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別為x1=?2，x2=4，則b+c的值是（）
A． ?10 B． 10 C． ?6 D． ?1
考點： 根與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到?2+4=?b，?2×4=c，然后可分別計算出b、c的值，進一步求得答案即可．
解答： 解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根分別為x1=?2，x2=4，
∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得?2+4=?b，?2×4=c，
解得b=?2，c=?8
∴b+c=?10．
故選：A．
點評： 此題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=? ，x1x2= ．
6．如圖，在長70m，寬40m的長方形花園中，欲修寬度相等的觀賞路（如陰影部分所示），要使觀賞路面積占總面積的 ，則路寬x應滿足的方程是（）
A． （40?x）（70?x）=350 B． （40?2x）（70?3x）=2450
C． （40?2x）（70?3x）=350 D． （40?x）（70?x）=2450
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
分析： 設(shè)路寬為x，所剩下的觀賞面積的寬為（40?2x），長為（70?3x）根據(jù)要使觀賞路面積占總面積 ，可列方程求解．
解答： 解：設(shè)路寬為x，
（40?2x）（70?3x）=（1? ）×70×40，
（40?2x）（70?3x）=2450．
故選B．
點評： 本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是表示出剩下的長和寬，根據(jù)面積列方程．
7．如圖，在等邊△ABC中，點O在AC上，且AO=3，CO=6，點P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點D恰好落在BC上，則AP的長是（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)．
專題： 壓軸題；動點型．
分析： 由于將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，當點D恰好落在BC上時，易得：△ODP是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△AOP≌△CDO，由此可以求出AP的長．
解答： 解：當點D恰好落在BC上時，OP=OD，∠A=∠C=60°．
∵∠POD=60°
∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，
∴∠AOP=∠CDO，
∴△AOP≌△CDO，
∴AP=CO=6．
故選C．
點評： 此題要把旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合求解．屬探索性問題，難度較大，近年來，探索性問題倍受2015屆中考命題者青睞，因為它所強化的數(shù)學素養(yǎng)，對學生的后續(xù)學習意義深遠．
8．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是（）
A． x＜?1 B． x＞3 C． ?1＜x＜3 D． x＜?1或x＞3
考點： 二次函數(shù)與不等式（組）．
專題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： 根據(jù)圖象，寫出函數(shù)圖象在x軸上方部分的x的取值范圍即可．
解答： 解：由圖可知，x＜?1或x＞3時，y＞0．
故選：D．
點評： 本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更簡便．
9．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是（）
A． B． C． D．
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 連接AC1，AO，根據(jù)四邊形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三點共線，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，進而求出DC1=OD，根據(jù)三角形的面積計算即可．
解答： 解：連接AC1，
∵四邊形AB1C1D1是正方形，
∴∠C1AB1= ×90°=45°=∠AC1B1，
∵邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形AB1C1D1，
∴∠B1AB=45°，
∴∠DAB1=90°?45°=45°，
∴AC1過D點，即A、D、C1三點共線，
∵正方形ABCD的邊長是1，
∴四邊形AB1C1D1的邊長是1，
在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1= = ，
則DC1= ?1，
∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，
∴∠C1OD=45°=∠DC1O，
∴DC1=OD= ?1，
∴S△ADO= ×OD•AD= ，
∴四邊形AB1OD的面積是=2× = ?1，
故選：C．
點評： 本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理等知識點，主要考查學生運用性質(zhì)進行計算的能力，題目比較好，但有一定的難度．
10．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M，N（點M在點N的上方），若△OMN的面積為S，直線l的運動時間為t 秒（0≤t≤4），則能大致反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）
A． B． C． D．
考點： 動點問題的函數(shù)圖象；正比例函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象；三角形的面積；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質(zhì)．
專題： 計算題；壓軸題．
分析： 過A作AD⊥x軸于D，根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AD，根據(jù)三角形的面積即可求出答案．
解答： 解：過A作AD⊥x軸于D，
∵OA=OC=4，∠AOC=60°，
∴OD=2，
由勾股定理得：AD=2 ，
①當0≤t＜2時，如圖所示，ON=t，MN= ON= t，S= ON•MN= t2；
②2≤t≤4時，ON=t，MN=2 ，S= ON•2 = t．
故選：C．
點評： 本題主要考查對動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，三角形的面積，二次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，用的數(shù)學思想是分類討論思想．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．設(shè)x1，x2是方程x（x?1）=3（1?x）的兩根，則|x1?x2|=4．
考點： 解一元二次方程-因式分解法．
專題： 計算題．
分析： 先移項得到x（x?1）+3（x?1）=0，再利用因式分解法解得所以x1=1，x2=?3，然后代入計算即可．
解答： 解：x（x?1）+3（x?1）=0，
（x?1）（x+3）=0，
所以x1=1，x2=?3，
所以|x1?x2|=|1?（?3）|=4．
故答案為4．
點評： 本題考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉(zhuǎn)化思想）．
12．如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當菱形的兩條對角線的長分別為6和8時，則陰影部分的面積為12．
考點： 中心對稱；菱形的性質(zhì)．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答．
解答： 解：∵菱形的兩條對角線的長分別為6和8，
∴菱形的面積= ×6×8=24，
∵O是菱形兩條對角線的交點，
∴陰影部分的面積= ×24=12．
故答案為：12．
點評： 本題考查了中心對稱，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．
13．某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車．已知在甲、乙兩地的銷售利潤y（單位：萬元）與銷售量x（單位：輛）之間分別滿足：y1=?x2+10x，y2=2x，若該公司在甲，乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤為46 萬元．
考點： 二次函數(shù)的應用．
分析： 設(shè)在甲地銷售了a輛，則在乙地銷售了（15?a）輛，則y1=?a2+10a，y2=2（15?a），設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤等于兩地的利潤之和表示出W與x之間的關(guān)系式就可以求出結(jié)論．
解答： 解：設(shè)總利潤為W元，在甲地銷售了a輛，則在乙地銷售了（15?a）輛，則y1=?a2+10a，y2=2（15?a），由題意，得
W??a2+10a+2（15?a），
=?a2+8a+30，
=?（a?4）2+46．
∴a=?1＜0，
∴a=4時，W最大=46．
故答案為：46．
點評： 本題考查了銷售問題的數(shù)量關(guān)系的運用，二次函數(shù)的運用，二次函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
14．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E，F(xiàn)，當∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），給出以下五個結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF= S△ABC；④EF=AP；⑤BE+CF=EF；上述結(jié)論中始終正確的有①②③．
考點： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
分析： 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根據(jù)等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角邊角”證明△AEP和△CPF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面積相等求出S四邊形AEPF=S△APC，然后解答即可．
解答： 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵點P為BC的中點，
∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP，
∵∠EPF是直角，
∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CPF中，
，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，
∴S四邊形AEPF=S△APC，
∴S四邊形AEPF= S△ABC，
故①②③正確，
EF= EP≥AP，BE+CF=AB≤EF．
故答案為：①②③．
點評： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．解方程：3（x+1）（x?1）+2（x?5）=?7．
考點： 解一元二次方程-公式法．
專題： 計 算題．
分析： 方程整理后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
解答： 解：方程整理得：3x2+2x?6=0，
這里a=3，b=2，c=?6，
∵△=4+72=76，
∴x= = ．
點評： 此題考查了解一元二次方程?公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．
16．如圖①，是用3根相同火柴棒拼成的一個三角圖形，記為一個基本圖形，將此基本圖形不斷的復制，使得相鄰的兩個基本圖形的邊重合，這樣得到圖②，圖③…
（1）觀察以上圖形，圖④中所用火柴棒的根數(shù)為9，
猜想：在圖n中，所用火柴棒的根數(shù)為2n+1（用n表示）；
（2）如圖，將圖n放在直角坐標系中，設(shè)其中第一個基本圖形的中心O1的坐標為（ ，y1），則y1=1；O2014的坐標為．
考點： 規(guī)律型：圖形的變化類；規(guī)律型：點的坐標．
分析： （1）按照圖中火柴的個數(shù)填表即可當三角形的個數(shù)為：1、2、3、4時，火柴棒的個數(shù)分別為：3、5、7、9，由此可以看出當三角形的個數(shù)為n時，三角形個數(shù)增加n?1個，那么此時火柴棒的個數(shù)應該為：3+2（n?1）=2n+1，得出答案；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)可知y1=1，則O1的坐標為（ ，1），O2的坐標為（2 ，2），O3的坐標為（3 ，1），O4的坐標為（4 ，2），…O2014的坐標為．
解答： 解：（1）觀察以上圖形，圖④中所用火柴棒的根數(shù)為9，
猜想：在圖n中，所用火柴棒的根數(shù)為2n+1（用n表示）；
（2）將圖n放在直角坐標系中，設(shè)其中第一個基本圖形的中心O1的坐標為（ ，y1，O2的坐標為（2 ，2），O3的坐標為（3 ，1），O4的坐標為（4 ，2），…O2014的坐標為．
故答案為：（1）9；2n+1；（2）1；．
點評： 此題主要考查了圖形變化類，本題解題關(guān)鍵根據(jù)第一問的結(jié)果總結(jié)規(guī)律是得到規(guī)律：三角形的個數(shù)每增加一個，火柴棒的個數(shù)增加2根，然后由此規(guī)律解答．
四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標是A（?5，?5），B（?1，?3），C（?3，?1）．
（1）按要求畫出變換后的圖形：
①畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
②以原點O為旋轉(zhuǎn)中心，把△A1B1C1逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A2B2C2；
（2）若將△ABC向右平移m個單位，向上平移n個單位，使點C落在△A2B2C2內(nèi)部，指出m、n的取值范圍．
考點： 作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換．
專題： 作圖題．
分析： （1）①根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點A1、B1、C1的 位置，然后順次連接即可；
②根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A1、B1、C1以原點O為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可．
解答： 解：（1）①△A1B1C1如圖所示；
②△A2B2C2如圖所示；
（2）由圖可知，4＜m＜8，2＜n＜6．
點評： 本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，利用軸對稱變化作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應點的位置是解題的關(guān)鍵．
18．關(guān)于x的一元二次方程（k?3）x2?3x+2=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍．
（2）求當k取何正整數(shù)時，方程的兩根均為整數(shù)．
考點： 根的判別式；一元二次方程的定義．
分析： （1）一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k?3≠0，△＞ 0，公共部分就是k的取值范圍．
（2）通過（1）中k的取值范圍確定出k的值，依次代入求出一元二次方程的解，滿足兩根都是整數(shù)就可以．
解答： 解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴
解得， ．
（2）k的正整數(shù)值為1、2、4
如果k=1，原方程為?2x2?3x+2=0．
解得x1=?2， ，不符合題意 舍去．
如果k=2，原方程為?x2?3x+2=0，
解得 ，不符合題意，舍去．
如果k=4，原方程為x2?3x+2=0，解得x1=1，x2=2，符合題意．
∴k=4．
點評： 這道題主要考查一元二次方程的根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2?4ac的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
五、解答題（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．某商場銷售一種品牌羽絨服和防寒服，其中羽絨服的售價是防寒服售價的5倍還多100元，2015年1月份（春節(jié)前期）共銷售500件，羽絨服與防寒服銷量之比是4：1，銷售總收入為58.6萬元．
（1）求羽絨服和防寒服的售價；
（2）春節(jié)后銷售進入淡季，售價不變，2015年2、3月份羽絨服銷量比上一個月都下滑了m%，結(jié)果3月份羽絨服的銷售總收入為14萬元，求m的值．
考點： 一元二次方程的應用；一元一次方程的應用．
專題： 銷售問題．
分析： （1）設(shè)防寒服的售價為x元，則羽絨服的售價為（5x+100）元，根據(jù)銷售總收入為58.6萬元列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)2015年2月份羽絨服銷量下滑了m%，羽絨服銷量不變，結(jié)果銷售總收入下降為14萬元列出方程，解方程即可．
解答： 解：（1）設(shè)防寒服的售價為x元，則羽絨服的售價為（5x+100）元，
∵2015年1月份（春節(jié)前期）共銷售500件，羽絨服與防寒服銷量之比是4：1，
∴羽絨服與防寒服銷量分別為：400件和100件，
根據(jù)題意得出：400（5x+100）+100x=58.6萬，
解得：x=260，∴5x+100=1400（元），
答：羽絨服和防寒服的售價為：1400元，260元；
（2）∵2015年2月份羽絨服銷量下滑了m%，羽絨服銷量不變，結(jié)果銷售總收入下降為14萬元，
∴1400×400（1?m%）2=140000，
解得：m1=50，m2=150（不合題意舍去）．
答：m的值為50．
點評： 本題考查了一元一次方程與一元二次方程的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
20．已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點（0，3a），對稱軸為x=1．
（1）試用含a的代數(shù)式表示b、c．
（2）當拋物線與直線y=x?1交于點（2，1）時，求此拋物線的解析式．
（3）求當b（c+6）取得最大值時的拋物線的頂點坐標．
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
專題： 壓軸題．
分析： （1）根據(jù)拋物線與y軸的交點可以得到c與a的關(guān)系，根據(jù)對稱軸可以得到b與a的關(guān)系；
（2）間已知點的坐標代入函數(shù)關(guān)系式并結(jié)合上題求得的系數(shù)的關(guān)系得到a、b、c的值即可求得其解析式；
（3）b（c+6）=?2a（3a+6）=?6a2?12a=?6（a+1）2+6，從而確定a的值，確定二次函數(shù)的解析式后即可確定其頂點坐標．
解答： 解：（1）∵拋物線與y軸交于點（0，3a）
∴c=3a
∵對稱軸為=1，
∴x=? =1
∴b=?2a；
（2）∵拋物線與直線y=x?1交于點（2，1），
∴（2，1）在拋物線上，
∴1=a×22+2（?2a）+3a
∴a=
∴b=?2a=? c=3a=1
∴拋物線為y= x2? x+1；
（3）∵b（c+6）=?2a（3a+6）=?6a2?12a=?6（a+1）2+6
當a=?1時，b（c+6）的最大值為6；
∴拋物線y=?x2+2x?3=?（x?1）2?2
故拋物線的頂點坐標為（1，?2）．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，正確的利用三個系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
六、解答題（本題滿分12分）
21．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點，與x軸相交于點E（8，0），拋物線的頂點A在第四象限，點A到x軸的距離AB=4，點P（m，0）是線段OE上一動點， 連結(jié)PA，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，過點C作y軸的平行線交x軸于點G，交拋物線于點D，連結(jié)BC和AD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）當以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標．
考點： 二次函數(shù)綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．
專題： 綜合題；數(shù)形結(jié)合．
分析： （1）根據(jù)題意先求得A的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）通過三角形全等求得PG=AB，CG=PB，分類討論P在B點的左邊與右邊，從而求得C的坐標；
（3）分類討論點P在OB上時、OE上時，把C的橫坐標代入拋物線的解析式求得D的坐標，然后根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出等式，解這個方程即可求得m的值，進而求得P的坐標；
解答： 解：（1）由題意可知：A（4，?4），
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過原點、點E（8，0 ）和A（4，?4），則
，
解得： ．
∴拋物線的解析式為：y= x2?2x．
（2）∵∠APC=90°
∴∠APB+∠CPG=90°
∵AB⊥PE
∴∠APB+∠PAB=90°
∴∠CPG=∠PAB
∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA
∴△ABP≌△PGC
∴PB=CG，AB=PG=4
∵P（m，0），OP=m，且點P是線段OE上的動點
∴PB=CG=|4?m|，OG=|m+4|
①如圖1，當點P在點B左邊時，點C在x軸上方，
m＜4，4?m＞0，PB=CG=4?m
∴C（m+4，4?m）
②如圖2，當點P在點B右邊時，點C在x軸下方，
m＞4，4?m＜0，
∴PB=|4?m|=?（4?m）=m?4
∴CG=m?4
∴C（m+4，4?m）
綜上所述，點C坐標是C（m+4，4?m）
（3）
如圖1，當點P在OB上時，
∵CD∥y軸，則CD⊥O E
∵點D在拋物線上，橫坐標是m+4，將x=m+4代入y= x2?2x得
化簡得：
∴D（m+4， ）
∴CD=4?m?（ ）=
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD=4，
∴ =4
解得： ，
∵點P在線段OE上，
∴ 不符合題意，舍去
∴P（ ，0）
如圖2，當點P在線段BE上時，
∵C（m+4，4?m）
∵點D在拋物線上，橫坐標是m+4，將x=m+4代入y= x2?2x得
化簡得：
∴D（m+4， ）
∴CD= m2?4?（4?m）= ，
∵四邊形ABDC是平行四邊形
∴AB=CD=4，
∴
解得 ，
∵點P在線段OE上，
∴ 不符合題意，舍去
∴P（ ，0）
綜上所述，當以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時，點P的坐標為P（ ，0）或P（ ，0）
點評： 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點的求法，綜合性強，需要主要分類討論，能力要求較高．考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．
七、解答題（本題滿分12分）
22．在等腰△ABC中，AB=AC，邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度m得到線段AD．
（1）如圖1，若∠BAC=30°，30°＜m＜l80°，連接BD，請用含m的式子表示∠DBC的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BAC=60°，0°＜m＜360°，連接BD、DC，直接寫出△BDC為等腰三角形時m所有可能的取值．
（3）如圖3，若∠BAC=90°，射線AD與直線BC相交于點E，是否存 在旋轉(zhuǎn)角度m，使AE：BE= ，若存在，求出所有符合條件的m的值，若不存在，請說明理由．
考點： 等腰三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
專題： 存在型．
分析： （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠ABC，∠ABD的度數(shù)，相減即可求解；
（2）分四種情況： 討論得到△BDC為等腰三角形時m的取值；
（3）分E點在BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解．
解答： 解：（1）∠ABC=（180°?30°）÷2=75°，
∠ABD=（180°?m）÷2=90°? m，
∠DBC=∠ABC?∠ABD=75°?（90°? m）= m?15°；
（2）由分析圖形可知m的取值為：30°，120°，210°，300°；
（3）存在2個符合條件的m的值：m=30°或m=330°．
如圖①：過E作EF⊥AB于F．
在Rt△BEF中，∵∠FBE=45°，
∴BE= EF，
∵A E：BE= ；
∴AE=2EF；
又∵∠AFE=90°；
∴∠FAE=30°．即m=30°
在Rt△AEF中，∵∠FAE=30°，
∴AE=2EF，
∴AE：BE= ；
如圖②：同理可得：AE：BE= ．
點評： 綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意分類思想的運用，是考試壓軸題，難度較大．
八、解答題（本題滿分14分）
23．已知二次函數(shù)y=mx2?（m?1）x?1．
（1）求證：這個二次函數(shù)的圖象一定與x軸有交點；
（2）若這個二次函數(shù)有最大值0 ，求m的值；
（3）我們定義：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸正半軸的兩個交點的橫坐標x1、x2（x1＞x2），滿足2＜ ＜3，則稱這個二次函數(shù)與x軸有兩個“夢想交點”．如果二次函數(shù)y=mx2?（m?1）x?1與x軸有兩個“夢想交點”，求m的取值范圍．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
分析： （1）由根的判別式就可以得出△的值就可以得出結(jié)論；
（2）將二次函數(shù)化為頂點式y(tǒng)=m（x? ）2? ?1，求出頂點坐標，由 =0建立方程求出其解即可；
（3）當y=0時表示出x的值，用代數(shù)式表示出x1、x2，再由2＜ ＜3建立不等式組就可以求出結(jié)論．
解答： 解：（1）∵y=mx2?（m?1）x?1．
∴當y=0時，mx2?（m?1）x?1=0．
∴a=m，b=?（m?1），c=?1，
∴△=[?（m?1）]2?4m（?1）=m2?2m+1+4m，
∴△=（m+1）2≥0，
∴這個二次函數(shù)的圖象一定與x軸有交點；
（2）∵y=mx2?（m?1）x?1，
∴y=m（x? ）2? ×m?1，
∴x= 時，y的最大值為? ×m?1．
∵這個二次函數(shù)有最大值為0，
∴? ×m?1=0．
解得：m=?1．
答：二次函數(shù)有最大值為0時，m的值為?1；
（3）∵y=mx2?（m?1）x?1，
∴當y=0時，
mx2?（m?1）x?1=0，
∴x= ，
∴x1= ，
x2= ，
∴ = ．
∵2＜ ＜3，
∴2＜ ＜3，
當m+1＞0，及m＞?1時，
解得：? ＜m＜? ．
當m+1＜0，及m＜?1時，
解得：?3＜m＜?2．
綜上所述，m的取值范圍為：? ＜m＜? 或? 3＜m＜?2．
點評： 本題考查了根的判別式的運用，二次函數(shù) 的頂點式的運用，一元二次方程的求根公式的運用，一元一次不等式組的解法的運用，解答時靈活運用求根公式是關(guān)鍵．
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