§1.3. 2奇偶性
一、內(nèi)容與解析
（一）內(nèi)容：奇偶性。
（二）解析：函數(shù)奇偶性是用代數(shù)方法研究函數(shù)圖象整體對稱性，是學生在學習了函數(shù)的概念和單調(diào)性的基礎(chǔ)上學習的又一個重要性質(zhì)，所以對本節(jié)的理解與掌握對鞏固前面學習的知識，以及為后面進一步學好指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容都具有十分重要的意義。
二、目標及其解析：
（一）目標
（1）函數(shù)奇偶性的概念和判定；
（二）解析
（1）根據(jù)高一學生的認知規(guī)律和特點，按照“由具體到抽象”和“抓聯(lián)系、促遷移”的原則進行，使學生體驗類比思想、數(shù)形結(jié)合思想在認識函數(shù)中的作用，提高觀察、分析、抽象和概括等方面的能力，具體講就是要經(jīng)歷概念教學的四個階段：第一階段：感性認識階段，即通過分析問題情景中的生活實例與數(shù)學實例等素材，分解內(nèi)含屬性，找出共同屬性；第二階段：分化本質(zhì)屬性階段，即舍棄非本質(zhì)屬性，從共同屬性中抽象出結(jié)構(gòu)上的本質(zhì)屬性，遷移到研究函數(shù)圖象的對稱性問題中；第三階段：概括形成定義階段：即通過“圖像語言→自然語言→數(shù)學語言→符號語言”的遷移，刻畫函數(shù)奇偶性的特征，得到定義；第四階段：應用于強化階段，即通過例習題的教與學說明如何用定義進行判定和證明函數(shù)的奇偶性，并挖掘要注意的問題，從而感悟概念的內(nèi)涵與外延。。
三、問題診斷分析
函數(shù)奇偶性的判斷，一個重要的依據(jù)就是定義，學生容易出現(xiàn)的問題的沒有考慮函數(shù)的定義域，從而導致錯誤。
四、教學支持條分析
在本節(jié)一次遞推的教學中，準備使用PowerPoint 2003。因為使用PowerPoint 2003，有利于提供準確、最核心的字信息，有利于幫助學生順利抓住老師上思路，節(jié)省老師板書時間，讓學生盡快地進入對問題的分析當中。
五、教學過程
（一）研探新知：
（1）奇偶函數(shù)的定義：
一般地，對于函數(shù) 的定義域內(nèi)的任意一個 ，都有 ，那么 就叫做偶函數(shù)．對于函數(shù) 的定義域的任意一個 ，都有 ，那么 就叫做奇函數(shù)．
思考：判斷函數(shù) 的奇偶性．
解析：函數(shù) 是非奇非偶函數(shù)，因為它的定義域關(guān)于原點不對稱．
溫馨提示：
①定義中的“定義域內(nèi)的任意一個 ”說明：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，而非同單調(diào)性的區(qū)間性質(zhì)；
②定義中的“都有 ”說明：函數(shù)具有奇偶性必須首先滿足一個先決條，即對于定義域內(nèi)的任意一個 ， 也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）．
③根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，其中，函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性．
④等式的等價形式：
． ；
.
據(jù)此，可把邏輯推理轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算.
（2） 奇偶函數(shù)的圖象特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．
思考：函數(shù)y＝f(x)(x∈[－2,2])的圖象如圖所示，則f(x)＋f(－x)＝ .
解析：由圖象可知f(x)為定義域上的奇函數(shù)．
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
溫馨提示：若一個函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱，則此函數(shù)是偶函數(shù)；若關(guān)于原點對稱，則為奇函數(shù).
（3） 奇偶性性質(zhì)：①設(shè) ， 的定義域分別是 ，那么在它們的公共定義域（非空）上：
奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇．
②已知函數(shù) 是奇函數(shù)，且 有定義，則 .
設(shè)計意圖：通過以上問題的探討，使學生逐漸體會運用定義解題的基本方法。
（二）類型題探究
題型一 函數(shù)的奇偶性的判定
例1．判斷下列函數(shù)的奇偶性
（1） ；
（2）
思路分析：根據(jù)定義，先驗證函數(shù)定義域的對稱性，再考察 ．
解：（1）函數(shù)的定義域為 ，所以解析式可以化簡為 ，
因為
所以，函數(shù) 在 上為奇函數(shù)。
（2）當 ＞0時，－ ＜0，于是
；
當 ＜0時，－ ＞0，于是
綜上可知， 在R*上是奇函數(shù)．
規(guī)律總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：
①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；
②確定 ；
③作出相應結(jié)論.
誤區(qū)警示：第（1）題中，若忽略定義域的求解，就不能有效化簡函數(shù)式，會錯誤的認為函數(shù)不具備奇偶性；第（2）題中，往往忽略或不能準確討論自變量的取值范圍。
題型二 函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)
例2.辨析正誤
(1)兩個奇函數(shù)的和或差仍是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)。
(2)已知函數(shù) 是奇函數(shù)或偶函數(shù)，方程 =0有實根，那么方程 =0的所有實根之和為零。
思路分析：函數(shù)的一般性性質(zhì)辨析題可從反例、特例入手解決。
解：（1）錯誤。一方面，如果這兩個函數(shù)的定義域的交集是空集，那么它們的和或差沒有定義；另一方面，兩個奇函數(shù)或偶函數(shù)的差可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，如, ， ，可以看出函數(shù)都是定義域上的奇函數(shù)，它們的差只在區(qū)間[－1，1]上有定義且 ，而在此區(qū)間上函數(shù) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。
（2）正確。方程 =0的實數(shù)根即為函數(shù) 與x軸的交點的橫坐標，由奇偶性的定義可知：若 ，則 。
誤區(qū)警示：在處理奇、偶函數(shù)的和差積商的屬性時，易忽略定義域的判定，導致錯誤解答與應用.
題型三 利用函數(shù)的奇偶性求解析式中的參數(shù)
例3.設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則實數(shù) ______________。
思路分析：借助奇偶性的定義，利用對應相等可以準確解決問題.
解1： ，
即 ， .
解2：
，即 ， ，
經(jīng)驗證適合題意.
解3：
， ，經(jīng)驗證適合題意.
規(guī)律總結(jié)：
利用函數(shù)奇偶性求解析式中的參數(shù)的思路：
①定義法；準確但不快捷；
②特值法：快捷但不準確，必須加以驗證.
(三）小結(jié)：
六、目標檢測
目標檢測一
1.下列圖象表示的函數(shù)中具備奇偶性的是（ B ）
2. 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(－3)＝－2，則f(3)＋f(0)＝( C )
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）7
3. 在定義域為 （a>0）內(nèi)，函數(shù) 、 均為奇函數(shù)，則 為（ A ）
（A）奇函數(shù) （B）偶函數(shù) （C）非奇非偶函數(shù) （D）無法判斷奇偶性
4. 以下四個函數(shù)：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ，其中奇函數(shù)是（1） ，偶函數(shù)是（3） ，非奇非偶函數(shù)是（4） ，即奇又偶函數(shù)是（2）.
5. 函數(shù) 在[－5，5]上為奇函數(shù)，其在[0，5]上的圖象如圖所示，則使 <0的x的取值范圍為
6. 函數(shù) 在實數(shù)集上是奇函數(shù)，則a= 0 .
7.已知 是定義在R上的函數(shù)，設(shè) ，
⑴試判斷 的奇偶性；⑵試判斷 的關(guān)系；
⑶由此你能猜想得出什么樣的結(jié)論，并說明理由．
解析：⑴利用奇偶性的定義可得： 分別為偶函數(shù)與奇函數(shù)；
⑵ ；
⑶定義在R上任何一個函數(shù)均可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式.
目標檢測二
1. 函數(shù)f(x)的圖象是兩條直線的一部分(如圖所示)，其定義域為[－1,0)∪(0,1]，則不等式f(x)－f(－x)＞－1的解集是( D )
（A）{x－1≤x≤1且x≠0}
（B）{x－1≤x<0}
（C）{x－1≤x<0或12<x≤1}
（D）{x－1≤x<—12或0<x≤1}
2.已知 對任意實數(shù) 都成立，則函數(shù) 是（ A ）
（A）奇函數(shù) （B）偶函數(shù)
（C）可以是奇函數(shù)也可以是偶函數(shù) （D）不能判定奇偶性
解析：顯然 的定義域是 ，它關(guān)于原點對稱．在 中，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ，∴ ，即 ， ∴ 是奇函數(shù)．
3.設(shè)函數(shù) 與 的定義域是 ,函數(shù) 是一個偶函數(shù)， 是一個奇函數(shù)，且 ，則 等于（ A ）
（A） （B） （C） （D）
4.若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a、b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________________.
解析：由于f(x)的定義域為R，值域為(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)為二次函數(shù)，
f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.
∵f(x)為偶函數(shù)，∴其對稱軸為x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，
∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
若a＝0，則f(x)＝bx2與值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b＝－2，又其最大值為4，
∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.
5.定義在 上的奇函數(shù) 在整個定義域上是減函數(shù)，若 ，求實數(shù) 的取值范圍。
解析： ，因為函數(shù) 為奇函數(shù)，所以 ，又因為函數(shù) 在 上是減函數(shù)，
所以 ，解之得a無解.
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