一、選擇題
1.下面四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列的圖像是一群孤立的點(diǎn)；②數(shù)列可看成是一列函數(shù)值；③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的；④數(shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式是唯一的.其中正確的結(jié)論是( ).
A.① B.①② C.②③ D.①②③
考查目的：考查數(shù)列的有關(guān)概念及其表示.
答案：A.
解析：數(shù)列可看成是定義域?yàn)檎麛?shù)集或正整數(shù)集的一個(gè)有限子集，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)所得到的一列函數(shù)值，所以數(shù)列的圖像是一群孤立的點(diǎn)；數(shù)列按項(xiàng)數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；數(shù)列通項(xiàng)的表達(dá)式不一定唯一，如周期數(shù)列0，2，0，2，……的通項(xiàng)可表示為，也可表示為等.
2.(2009湖北文)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：
他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( ).
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
考查目的：考查數(shù)列的概念、歸納猜想能力和推理判斷能力.
答案：C
解析：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)；由可排除D，由或，得，可排除A、B，故選C. 事實(shí)上，是第49個(gè)三角形數(shù)、第35個(gè)正方形數(shù).
3.(2008江西)在數(shù)列中，，，則( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查遞推數(shù)列的概念、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查由遞推公式求通項(xiàng)公式的基本方法.
答案：A.
解析：∵，∴()，∴當(dāng)時(shí)， . 又∵也適合上式，∴().
二、填空題
4.數(shù)列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是 .
考查目的：考查數(shù)列通項(xiàng)公式的概念、歸納推理能力.
答案：.
解析：.還可以表示為或
或.
5.(由2010遼寧理改編)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的最小值為________.
考查目的：考查數(shù)列的通項(xiàng)公式及函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.
答案：.
解析：∵，∴，設(shè)，則由函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)�，所以�?dāng)或時(shí)，有最小值.又因?yàn)�，，所以的最小值�?
6.(2012上海文)已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是 .
考查目的：考查函數(shù)的概念、數(shù)列的概念和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列遞推公式的運(yùn)用.
答案：.
解析：∵，，∴；∵，∴，，，，；又由得到，，解得(負(fù)值舍去).依次往前推，得到，∴.
三、解答題
7.在數(shù)列中，.
⑴求證：數(shù)列先遞增后遞減；
⑵求數(shù)列的最大項(xiàng).
考查目的：考查數(shù)列的概念、研究數(shù)列單調(diào)性的基本方法.
答案：⑴當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減.⑵.
解析：⑴由得，∴當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減.
⑵由⑴可知，為數(shù)列的最大項(xiàng).
8.如果每一對兔子每月能生一對新兔，而每一對新兔在出生后的第三個(gè)月開始生一對新兔. 假定不發(fā)生任何死亡，那么一對新生的兔子在一年后能繁殖成多少對？
考查目的：考查數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推公式，考查分析問題解決問題的能力.
答案：144.
解析：記 為個(gè)月后兔子的對數(shù)，則，，，∵第個(gè)月后兔子的對數(shù)由兩部分組成：一部分為第個(gè)月的兔子對數(shù)，另一部分是新增加的，增加的對數(shù)為第個(gè)月的兔子對數(shù)，∴ ，由此可得，，，，，，，，.
答：一對新生的兔子在一年后能繁殖成144對.
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