《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4》第二章“平面向量”簡(jiǎn)介

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)


  向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,有深刻的幾何背景,是解決幾何問(wèn)題的有力工具。向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加(減)法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算,從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。

  向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景。在本章中,學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景,理解平面向量及其運(yùn)算的意義,能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

  一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

  本章主要包括平面向量的實(shí)際背景及基本概念、平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容。通過(guò)本章學(xué)習(xí),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生:

  1.通過(guò)力和力的分析等實(shí)例,了解向量的實(shí)際背景,理解平面向量和向量相等的含義,理解向量的幾何表示。

  2.通過(guò)實(shí)例,掌握向量加、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義。

  3.通過(guò)實(shí)例,掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算,并理解其幾何意義,以及兩個(gè)向量共線的含義。

  4.了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。

  5.了解平面向量的基本定理及其意義。

  6.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。

  7.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。

  8.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

  9.通過(guò)物理中“功”等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

  10.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

  11.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。

  12.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

  13.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

  二、本章內(nèi)容安排

  本章共安排了5個(gè)小節(jié)及2個(gè)選學(xué)內(nèi)容,大約需要12個(gè)課時(shí),具體分配如下(僅供參考):

  2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念                           2課時(shí)

  2.2 向量的線性運(yùn)算                                         2課時(shí)

  2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示                           2課時(shí)

  2.4 平面向量的數(shù)量積                                       2課時(shí)

  2.5 平面向量應(yīng)用舉例                                       2課時(shí)

  小 結(jié)                                                       2課時(shí)

  本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下:

  

  1.第一節(jié)包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。

  教科書首先從位移、力等物理量出發(fā),抽象出既有大小、又有方向的量──向量,并說(shuō)明向量與數(shù)量的區(qū)別。然后介紹了向量的幾何表示、有向線向量的長(zhǎng)度(模)、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等基本概念。

  2.第二節(jié)有向量加法運(yùn)算及其幾何意義、向量減法運(yùn)算及其幾何意義、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義等內(nèi)容。

  教科書先講了向量的加法、加法的幾何意義、加法運(yùn)算律;再用相反向量與向量的加法定義向量的減法,把向量的減法與加法統(tǒng)一起來(lái),并給出向量減法的幾何意義;然后通過(guò)向量的加法引入了實(shí)數(shù)與向量的積的定義,給出了實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律;最后介紹了兩個(gè)向量共線的條件和向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則。

  3.第三節(jié)包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量共線的坐標(biāo)表示。

  平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。教科書首先通過(guò)一個(gè)具體的例子給出平面向量基本定理,同時(shí)介紹了基底、夾角、兩個(gè)向量垂直的概念;然后在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上,給出了平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示,向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算和向量坐標(biāo)的概念,最后給出平面向量共線的坐標(biāo)表示。坐標(biāo)表示使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這為通過(guò)“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題搭起了橋梁。

  4.第四節(jié)包括平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。

  教科書從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā),引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義,接著介紹了向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示。向量數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來(lái),這樣為解決有關(guān)的幾何問(wèn)題提供了方便,特別能有效地解決線段的垂直問(wèn)題。

  5.第五節(jié)包括平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例。由于向量來(lái)源于物理,并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn),所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用。本節(jié)通過(guò)幾個(gè)具體的例子說(shuō)明了它的應(yīng)用。

  6.為了拓展學(xué)生的知識(shí)面,使學(xué)生了解向量及向量符號(hào)的由來(lái),向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形形式的關(guān)系,本章安排了兩個(gè)“閱讀與思考”:向量幾向量符號(hào)的由來(lái),向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)與圖形性質(zhì)。

  三、編寫中考慮的幾個(gè)問(wèn)題

  1.突出向量的物理背景與幾何背景

  教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。在引言中通過(guò)日常生活中確定“位置”中的位移概念,說(shuō)明學(xué)習(xí)向量知識(shí)的意義;在2.1節(jié),通過(guò)物理學(xué)中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等作為實(shí)際背景素材,說(shuō)明它們都是既有大小又有方向的量,由此引出向量的概念;引出向量概念后,教科書又利用有向線段給出了向量的幾何背景,并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排,可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、物理問(wèn)題以及數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用,使學(xué)生建立起理解和運(yùn)用向量概念的背景支持。

  教科書借助幾何直觀,并通過(guò)與數(shù)的運(yùn)算的類比引入向量運(yùn)算,以加強(qiáng)向量的幾何背景。例如,關(guān)于向量的減法,在向量代數(shù)中,常有兩種定義方法,第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算,即如果a+x=b,則x叫做向量b與a的差。這樣,作b-a時(shí),可先在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,再作,則就是b-a。第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上,通過(guò)向量的加法定義向量的減法,即已知、,定義。在這種定義下,作時(shí),可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作,則由向量加法的平行四邊形法則知,。由于,即就是。實(shí)踐表明,中學(xué)生理解第一種定義方法存在困難,但能容易地作出;接受第二種定義方法容易,但作較繁。為便于學(xué)生接受,教科書先類比相反數(shù)給出相反向量,再把定義為,然后借助幾何直觀得出的作法(向量減法的幾何意義)。

  2.強(qiáng)調(diào)向量作為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具作用。

  為了強(qiáng)調(diào)向量作為刻畫力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中常見現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具作用,本章特別注意聯(lián)系實(shí)際。特別是在概念引入中加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。例如,在引入向量的概念時(shí),聯(lián)系了位移、物體在液體中的受力分析、彈簧受力分析等;向量的加法運(yùn)算、平面向量的正交分解、平面向量的數(shù)量積等都與相應(yīng)的物理問(wèn)題建立聯(lián)系;向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成相聯(lián)系。

  另外,向量也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的好工具,例如,和(差)角的三角函數(shù)公式、線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進(jìn)行推導(dǎo);向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁,是一個(gè)很好的數(shù)形結(jié)合工具,教科書通過(guò)“平面幾何中的向量方法”進(jìn)行了介紹,并在第三章用向量方法來(lái)推導(dǎo)兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現(xiàn)向量作為基本的、重要的數(shù)學(xué)工具的地位。

  3.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程與學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程安排內(nèi)容。

  向量是高中數(shù)學(xué)課程近年來(lái)引進(jìn)的新內(nèi)容,為了保證其科學(xué)性,同時(shí)又易于被學(xué)生接受,根據(jù)向量知識(shí)的發(fā)展過(guò)程和學(xué)生的思維規(guī)律,根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)向量?jī)?nèi)容的定位,并考慮到學(xué)生在數(shù)及其運(yùn)算中建立起來(lái)的經(jīng)驗(yàn),本章按照如下次序來(lái)編排:

  向量的實(shí)際背景及基本概念→向量的線性運(yùn)算→平面向量基本定理及坐標(biāo)表示→向量的數(shù)量積→向量應(yīng)用舉例。

  具體的考慮是:

 。1)借助力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中的常見現(xiàn)象,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)引進(jìn)向量的必要性,并得出向量是既有大小又有方向的量,給出向量的概念。

 。2)數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個(gè)新的量,自然要看看它的運(yùn)算及其運(yùn)算律的問(wèn)題。向量運(yùn)算可以與我們熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比,從中得到啟發(fā),因此在引進(jìn)向量概念后接著討論向量的線性運(yùn)算(加、減及數(shù)乘)是很自然的。只是要對(duì)向量與數(shù)之間不同的地方要非常小心,也即運(yùn)算中除了考慮大小,還要考慮方向問(wèn)題。這里,為了便于學(xué)生理解,還要借助于物理中力的合成來(lái)定義向量的加法。

 。3)受到數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的啟發(fā),向量能不能用類似于數(shù)軸上的點(diǎn)的形式來(lái)表示呢?根據(jù)這個(gè)想法,以向量的加法運(yùn)算為基礎(chǔ),得出平面向量基本定理,就可以引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示。

 。4)從運(yùn)算的角度看,自然要研究?jī)蓚(gè)向量是否可以相乘,如果可以,那么結(jié)果怎樣?還是從向量的物理背景中得到啟發(fā),可以定義兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算,并討論運(yùn)算律問(wèn)題。

  至于向量是否可以作其他運(yùn)算,以及如何定義,可以作為懸念留待今后解決。

 。5)學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用,應(yīng)用的過(guò)程中可以加深理解相關(guān)知識(shí),因此安排了“向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用”。

  本章內(nèi)容的這種想法,如果能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中明確起來(lái),那么對(duì)他們掌握本章內(nèi)容會(huì)有很大幫助。

  這里需要說(shuō)明的是,向量的坐標(biāo)表示的引入,由于目的不同而有不同的處理方式。高等數(shù)學(xué)教材中,往往采取先介紹向量的概念及各種運(yùn)算,并直接用向量解決有關(guān)幾何問(wèn)題,然后再引進(jìn)坐標(biāo),并用向量和坐標(biāo)方法討論空間直線、平面、二次曲面及一般的曲面,其目的是突出向量的工具性。本章為了盡早讓學(xué)生知道處理幾何問(wèn)題的另兩種方法——向量法和坐標(biāo)法,突出數(shù)形結(jié)合的思想,在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引進(jìn)向量的坐標(biāo),并把向量的線性運(yùn)算及向量的共線等用坐標(biāo)表示。

  4.強(qiáng)調(diào)向量法的基本思想,明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的核心地位。

  向量具有明確的幾何背景,向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義,因此涉及長(zhǎng)度、夾角的幾何問(wèn)題可以通過(guò)向量及其運(yùn)算得到解決。另外,向量及其運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形的性質(zhì)緊密相聯(lián),向量的運(yùn)算(包括運(yùn)算律)可以用圖形直觀表示,圖形的一些性質(zhì)也可以用向量的運(yùn)算(運(yùn)算律)來(lái)表示。例如,平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,而向量的加法及其交換律(a+b=b+a)又可以表示平行四邊形的性質(zhì)(在平行四邊形AB∥CD中,AD∥BC,AB∥CD,△ABD )。這樣,建立了向量運(yùn)算(包括運(yùn)算律)與幾何圖形之間的關(guān)系后,可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平,向量運(yùn)算(運(yùn)算律)把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起。

  幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性,不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來(lái)代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”。這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量,對(duì)這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論,然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果。如果把解析幾何的方法簡(jiǎn)單地表述為

  [形到數(shù)]——[數(shù)的運(yùn)算]——[數(shù)到形],

  則向量方法可簡(jiǎn)單地表述為

  [形到向量]——[向量的運(yùn)算]——[向量和數(shù)到形]。

  教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想,并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”。為了使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性,教科書注意引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)及時(shí)進(jìn)行歸納,同時(shí)還明確使用了“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算,向量的力量無(wú)限;如果沒有運(yùn)算,向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語(yǔ)。

  5.通過(guò)與數(shù)及其運(yùn)算的類比,向量法與坐標(biāo)法的類比,建立相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系,突出思想性。

  向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算既有區(qū)別又有聯(lián)系,在研究的思想方法上可以進(jìn)行類比。這種類比可以打開學(xué)生討論向量問(wèn)題的思路,同時(shí)還能使向量的學(xué)習(xí)找到合適的思維固著點(diǎn)。為此,教科書在向量概念的引入,向量的線性運(yùn)算,向量的數(shù)量積運(yùn)算等內(nèi)容的展開上,都注意與數(shù)及其運(yùn)算(加、減、乘)進(jìn)行類比。

  例如,向量概念的引入用了這樣一段話:

  我們可以從一支筆、一棵樹、一本書……抽象出只有大小的數(shù)量“1”。類似地,我們可以對(duì)力、位移……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象,形成一種新的量。

  又如,在學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算及運(yùn)算律時(shí),也是從數(shù)談起的:“數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,因?yàn)橛辛诉\(yùn)算而使數(shù)的威力無(wú)窮。與數(shù)的運(yùn)算類比,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢?”“數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運(yùn)算的角度看,位移的合成、力的合成可看作向量的加法!薄皵(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算。類似的,向量的加法是否也有運(yùn)算律呢?”“我們知道,減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。向量的減法是否也有類似的法則?”……

  再如,在向量的坐標(biāo)表示中,先提出問(wèn)題:“在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(即它的坐標(biāo))表示。對(duì)于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個(gè)向量,如何表示呢?”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐標(biāo)表示,并把向量(有向線段)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來(lái),實(shí)現(xiàn)向量的運(yùn)算到數(shù)的運(yùn)算的轉(zhuǎn)化。

  6.用恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

  本章充分利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置了大量問(wèn)題,教科書通過(guò)這些問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考,加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。例如,引進(jìn)向量加法運(yùn)算時(shí),通過(guò)“探究”欄目,創(chuàng)設(shè)從力的合成到向量加法的問(wèn)題情景;討論向量加法的運(yùn)算律時(shí),提出“數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,向量的加法是否也滿足交換律與結(jié)合律?請(qǐng)畫圖進(jìn)行探索!痹谟懻撓蛄繑(shù)乘運(yùn)算時(shí),先提出“已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)。你能說(shuō)明它們的幾何意義嗎?”平面向量基本定理的引入,先讓學(xué)生思考“給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量,請(qǐng)作出向量3e1+2e2,e1-2e2。平面內(nèi)任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?”引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象,概括出平面向量基本定理。

  四、對(duì)本章教學(xué)的幾個(gè)建議

  1.引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量?jī)?nèi)容

  在向量概念的教學(xué)中,要利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí),創(chuàng)設(shè)豐富的情景,例如物理中的力、速度、加速度,力的合成與分解,物體受力做功等,通過(guò)這些實(shí)例是學(xué)生了解向量的物理背景、幾何背景,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)向量作為描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的作用。同時(shí)還要通過(guò)解決一些實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題,使學(xué)生學(xué)會(huì)用向量這一數(shù)學(xué)模型處理問(wèn)題的基本方法。

  2.加強(qiáng)向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系性,使學(xué)生明確研究向量的基本思路

  向量既是代數(shù)的對(duì)象,又是幾何的對(duì)象。作為代數(shù)對(duì)象,向量可以運(yùn)算,而且正是因?yàn)橛辛诉\(yùn)算,向量的威力才得到充分的發(fā)揮;作為幾何對(duì)象,向量可以刻畫幾何元素(點(diǎn)、線、面),利用向量的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系,通過(guò)向量運(yùn)算還可以描述幾何元素之間的關(guān)系(例如直線的垂直、平行等),另外,利用向量的長(zhǎng)度可以刻畫長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題。教學(xué)中,教師應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注到向量的這些特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的聯(lián)系中學(xué)習(xí)本章知識(shí)。

  值得特別注意的是,在本章的教學(xué)之初,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)與數(shù)及其運(yùn)算的類比,體會(huì)研究向量的基本思路,在學(xué)完本章內(nèi)容后,還要引導(dǎo)學(xué)生反思,重新概括研究思路,這樣可以使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中研究問(wèn)題的思想方法,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

  3.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)向量法的思想實(shí)質(zhì)

  向量集數(shù)與形于一身,既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性,用它研究問(wèn)題時(shí)可以實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合,因而向量方法是幾何研究的一個(gè)有效的強(qiáng)有力工具。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過(guò)實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)通過(guò)建立向量及其運(yùn)算(運(yùn)算律)與幾何圖形之間的關(guān)系,利用向量的代數(shù)運(yùn)算研究幾何問(wèn)題的基本思想,掌握向量法的“三步曲”:

 。1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;

 。2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問(wèn)題;

 。3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

  其中,由于向量的數(shù)量積集距離和角這兩個(gè)刻畫幾何元素(點(diǎn)、線、面)之間度量關(guān)系的基本量于一身,因而它在解決幾何問(wèn)題中的作用更大,應(yīng)當(dāng)通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引起學(xué)生的注意。

  4.注意與數(shù)及其運(yùn)算、解析幾何的思想方法的類比

  前已指出,向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比,這種類比使學(xué)生體會(huì)向量研究中的問(wèn)題與方法,使向量的學(xué)習(xí)有一個(gè)好的思維固著點(diǎn)。這樣的類比是教學(xué)中提高思想性的有效手段,因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的關(guān)注。另外,從思想實(shí)質(zhì)來(lái)說(shuō),向量法與解析法是完全一致的,教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)2中歸納的解析法的“三步曲”,然后讓學(xué)生自己概括出向量法的“三步曲”。

  順便指出,作為向量數(shù)量化依據(jù)的平面向量基本定理,教科書是通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合,這種表示是學(xué)生所不熟悉的。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分用好具體例子,使學(xué)生形成對(duì)基本定理的直觀理解,但不要加以證明。在進(jìn)入平面向量的坐標(biāo)表示以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算后,可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)例題,在解決線段的定比分點(diǎn)、平移、平面上兩點(diǎn)之間的距離等問(wèn)題的過(guò)程中,使學(xué)生看到結(jié)果與在數(shù)學(xué)2中得到的一樣,從而進(jìn)一步體會(huì)平面向量基本定理的內(nèi)涵。


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