本章在“第三章 直線與方程”的基礎(chǔ)上，在直角坐標(biāo)系中建立圓的方程，并通過(guò)圓的方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。

　　在直角坐標(biāo)系中，建立幾何對(duì)象的方程，并通過(guò)方程研究幾何對(duì)象，這是研究幾何問(wèn)題的重要方法。通過(guò)坐標(biāo)系，把點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)空間形式與數(shù)量關(guān)系的結(jié)合。

　　一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　本章主要內(nèi)容是在直角坐標(biāo)系中建立圓的方程，并通過(guò)圓的方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。通過(guò)本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生達(dá)到如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

　　1．回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。

　　2．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。

　　3．能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

　　4．進(jìn)一步體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。

　　5．通過(guò)具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置。

　　6．通過(guò)表示特殊長(zhǎng)方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行）頂點(diǎn)的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式。

　　二、內(nèi)容安排

　　本章內(nèi)容共分三節(jié)，約需9課時(shí)，具體課時(shí)分配如下（僅供參考）：

　　4．1  圓的方程                                         約2課時(shí)

　　4．2  直線、圓的位置關(guān)系                               約4課時(shí)

　　4．3  空間直角坐標(biāo)系                                   約2課時(shí)

　　小  結(jié)                                                 約1課時(shí)

　　本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：

　　

　　1．“直線與方程”一章研究了直線方程的各種形式、直線之間的位置關(guān)系以及直線之間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用。本章在第三章的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)——圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程；繼續(xù)運(yùn)用“坐標(biāo)法”研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等幾何問(wèn)題；學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)知識(shí)，用坐標(biāo)表示簡(jiǎn)單的空間的幾何對(duì)象。

　　2．“圓的方程”一節(jié)包括圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的一般方程兩部分。首先提出確定圓的幾何要素這個(gè)問(wèn)題，指出圓心和半徑是確定一個(gè)圓最基本的要素，然后引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的語(yǔ)言（方程）描述圓，進(jìn)而得到圓心為C（a，b ），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2。對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行變形，可以得出圓的一般方程，它們是表示圓的方程的兩種形式。

　　3．“直線、圓的位置關(guān)系”中，先從幾何角度指出它們之間的直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系，然后用方程去描述它們，通過(guò)方程研究直線、圓的位置關(guān)系。最后安排了直線與圓的方程在解決實(shí)際問(wèn)題和平面幾何問(wèn)題方面的應(yīng)用。

　　通過(guò)方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的主要內(nèi)容之一。判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)方面入手：

　�。�1）曲線C1與C2有無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)于由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解．方程組有幾組實(shí)數(shù)解，曲線C1與C2就有幾個(gè)公共點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，C1與C2就沒(méi)有公共點(diǎn)。

　�。�2）運(yùn)用平面幾何知識(shí)，把直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的結(jié)論轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題。

　　在本節(jié)的最后，進(jìn)一步指出用坐標(biāo)方法解決幾何問(wèn)題的“三部曲”：

　　第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；

　　第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；

　　第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。

　　4．“空間直角坐標(biāo)系”包括空間直角坐標(biāo)系的概念，用坐標(biāo)表示空間中簡(jiǎn)單的幾何對(duì)象，以及空間中兩點(diǎn)間的距離公式。

　　5．為了使學(xué)生更好地了解“坐標(biāo)法”，認(rèn)識(shí)信息技術(shù)在探求軌跡方面的作用，本章安排了“閱讀與思考  坐標(biāo)法與機(jī)器證明”和“探究與發(fā)現(xiàn)  用《幾何畫板》探求點(diǎn)的軌跡（圓）”�！伴喿x與思考  坐標(biāo)法與機(jī)器證明”介紹了坐標(biāo)法、笛卡兒、坐標(biāo)法與機(jī)器證明之間的關(guān)系、機(jī)器證明的思想，以及在機(jī)器證明方面作出重大貢獻(xiàn)的的我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生。目的是拓廣學(xué)生的知識(shí)面，了解我國(guó)數(shù)學(xué)家作出的重大貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。“探究與發(fā)現(xiàn)  用《幾何畫板》探求點(diǎn)的軌跡（圓）”介紹了《幾何畫板》在探求點(diǎn)的軌跡，幫助學(xué)生猜想、發(fā)現(xiàn)方面的作用。

　　三、編寫中考慮的幾個(gè)問(wèn)題

　　1．始終貫穿“坐標(biāo)法”的思想

　　解析幾何的特點(diǎn)是用代數(shù)的方法研究幾何圖形。對(duì)于義務(wù)教育階段中判斷圓與直線、圓與圓之間的位置關(guān)系的方法，學(xué)生并不陌生。這里研究問(wèn)題的方法與以前不同，這就是坐標(biāo)法．

　　在建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先幫助學(xué)生回顧確定圓的要素，然后利用坐標(biāo)法來(lái)刻畫圓，建立了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；判斷圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，首先回顧義務(wù)教育階段如何判斷圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系，然后利用坐標(biāo)法研究它們。從另一個(gè)角度看，既然圓、直線都可以用方程來(lái)刻畫，那么就可以通過(guò)對(duì)方程的研究來(lái)研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，這就是兩曲線是否有公共點(diǎn)的問(wèn)題，即它們的方程組成的方程組有沒(méi)有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題。本章在進(jìn)行圓與直線、圓與圓的位置關(guān)系判斷時(shí)，常常采用這兩種方法．

　　2．從一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題展開知識(shí)內(nèi)容

　　問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。引入知識(shí)內(nèi)容時(shí)，常設(shè)置一個(gè)或幾個(gè)問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)一種情境，一方面引起學(xué)生的興趣，另一方面引起學(xué)生解決問(wèn)題的求知欲望。

　　比如“4. 1.2 圓的一般方程”，提出了兩個(gè)思考題

　　思考：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么圖形？方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么圖形？

　　實(shí)際上，對(duì)方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y－2）2＝－1，這個(gè)方程不表示任何圖形。

　　緊接著，教科書又提出一個(gè)讓學(xué)生探究的問(wèn)題。

　　探究：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程在什么條件下表示圓？

　　教科書環(huán)環(huán)相扣，把學(xué)生引入一個(gè)又一個(gè)“憤”與“悱”的境地，使得學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的解決學(xué)習(xí)新的知識(shí)。

　　3．關(guān)注結(jié)論形成的過(guò)程，通過(guò)思考、探究，得出結(jié)論

　　本章在編寫時(shí)注意呈現(xiàn)方式，不直接給出結(jié)論，讓學(xué)生證明。而是把結(jié)論放在學(xué)生經(jīng)過(guò)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)之后，通過(guò)思考、探究，得出結(jié)論。比如，用“坐標(biāo)法”解決問(wèn)題的“三部曲”就是通過(guò)解決一系列問(wèn)題后得出。在例題的呈現(xiàn)時(shí)，增加了分析的過(guò)程，重點(diǎn)分析解題的思路。在探求點(diǎn)的軌跡時(shí)，提倡先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀，對(duì)問(wèn)題有一個(gè)直觀的了解，然后再分析軌跡形成的原因，找出解決問(wèn)題的方法，使得學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)，理清思路，制訂合理的解題策略。

　　4．充分利用教科書邊空，提出具有一定思考價(jià)值的問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)重要的數(shù)學(xué)思想方法

　　利用教科書邊空不失時(shí)機(jī)地提出一些具有一定思考價(jià)值的問(wèn)題，例如：

　�。�1）當(dāng)一個(gè)問(wèn)題解決之后，詢問(wèn)“還有其他不同的解法嗎？”或者是“有更好的解法嗎？”

　�。�2）當(dāng)同一個(gè)問(wèn)題有兩種解法時(shí)，要求比較它們的優(yōu)劣。如“請(qǐng)同學(xué)們比較這兩種證明方法，并指出各自的特點(diǎn)？”在比較中加深理解，促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣．

　�。�3）當(dāng)同一個(gè)問(wèn)題有多種解法時(shí)，要求學(xué)生在教科書已經(jīng)給出一種或兩種解法的基礎(chǔ)上再給出一種。

　　歸納、抽象是重要的數(shù)學(xué)思想方法。在問(wèn)題解決之后，要求學(xué)生進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的歸納。例如，“4. 1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”，在學(xué)習(xí)了例2與例3之后，提出“比較例2和例3，你能歸納出求任意三角形外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法嗎？”

　　通過(guò)問(wèn)題的開放性，觸類旁通地提出問(wèn)題。比如，研究圓C1：x2＋2＋2x＋8y－8＝0與圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0的關(guān)系時(shí)，把它們的方程相減，得到 x＋2y－1＝0。在邊空處要求“畫出圓C1與2以及方程x＋2y－1＝0表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說(shuō)明為什么嗎？”更進(jìn)一步，能否說(shuō)，要研究圓C1與圓C2的關(guān)系只要研究直線x＋2y－1＝0與C1（或C2）的關(guān)系就可以了呢？這一問(wèn)題，不僅體現(xiàn)了“化歸”的思想，而且是頗具思考價(jià)值的．

　　5．注意加強(qiáng)與實(shí)際問(wèn)題、其他學(xué)科的聯(lián)系

　　本章內(nèi)容的選擇盡可能加強(qiáng)與學(xué)生的生活、生產(chǎn)實(shí)際的聯(lián)系。比如，為說(shuō)明研究直線與圓的位置關(guān)系的必要性，設(shè)置了一個(gè)漁船能否避開臺(tái)風(fēng)的問(wèn)題：

　　一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30 km的圓形區(qū)域. 已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？

　　在直線與圓的方程的應(yīng)用部分，設(shè)置了與圓拱橋有關(guān)的計(jì)算題。學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要求寫出食鹽晶胞中鈉原子在空間直角坐標(biāo)系中的位置（坐標(biāo)）等等。

　　6．介紹科技成果，滲透數(shù)學(xué)文化

　　本章通過(guò)設(shè)置“閱讀與思考 坐標(biāo)法與機(jī)器證明”欄目，介紹科學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生活中的應(yīng)用等，機(jī)器證明幾何定理是坐標(biāo)法的精彩應(yīng)用，我國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊先生在這方面有著重要的貢獻(xiàn)，較為詳細(xì)地介紹了機(jī)器證明幾何定理研究的歷史。

　　四、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

　　1．認(rèn)真把握教學(xué)要求

　　教學(xué)中，注意控制教學(xué)的難度，避免進(jìn)行綜合性強(qiáng)、難度較大的數(shù)學(xué)題的訓(xùn)練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務(wù)教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結(jié)論都可以用坐標(biāo)法來(lái)加以證明，而義務(wù)教育階段的教學(xué)要求已經(jīng)有所改變。因此，用坐標(biāo)法證明平面幾何題要求不宜過(guò)高，適可而止。再如，教科書不介紹圓的切線方程x0x+y0y＝r2，這并不是說(shuō)不涉及圓與直線相切這一位置關(guān)系。與直線相切這一位置關(guān)系的判斷可以有兩種方法，一種是利用圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)；另一種是利用它們的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解。

　　2．關(guān)注重要數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

　　重要的數(shù)學(xué)思想方法不怕重復(fù)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》要求“坐標(biāo)法”應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。在教學(xué)中應(yīng)自始至終強(qiáng)化這一思想方法，這是解析幾何的特點(diǎn)。教學(xué)中注意“數(shù)”與“形”的結(jié)合，在通過(guò)代數(shù)方法研究幾何對(duì)象的位置關(guān)系以后，還可以畫出其圖形，驗(yàn)證代數(shù)結(jié)果；同時(shí)，通過(guò)觀察幾何圖形得到的數(shù)學(xué)結(jié)論，對(duì)結(jié)論進(jìn)行代數(shù)證明，不應(yīng)割斷它們之間的聯(lián)系，只強(qiáng)調(diào)其一方面。

　　3．關(guān)注學(xué)生的動(dòng)手操作和主動(dòng)參與

　　學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是課程改革的重要目標(biāo)之一。教學(xué)中，注意提供充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^(guò)程中獲得知識(shí)、增強(qiáng)技能、掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。例如，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系以及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用，探究點(diǎn)的軌跡等內(nèi)容，可以先讓學(xué)生畫一畫、想一想，然后進(jìn)行代數(shù)論證。“觀察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置目的之一就是想讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中來(lái)。

　　4．關(guān)注信息技術(shù)的應(yīng)用

　　平面解析幾何是一門典型的數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科，信息技術(shù)在加強(qiáng)幾何直觀，促使數(shù)與形結(jié)合方面有著特殊的作用。借助信息技術(shù)，可以形象、直觀地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)所研究的曲線。在動(dòng)態(tài)演示中，觀察曲線的性質(zhì)，在直觀了解的基礎(chǔ)上，尋求形成這些性質(zhì)的原因以及代數(shù)表示。通過(guò)對(duì)方程的研究，了解曲線與曲線的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用信息技術(shù)，可以進(jìn)一步驗(yàn)證得到的結(jié)果，為抽象的認(rèn)識(shí)增添了形象的支持。在探究點(diǎn)的軌跡時(shí)，可以借助信息技術(shù)，探究軌跡的形狀等等。

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