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從一道函數(shù)題解讀高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

高三數(shù)學(xué)與高一、高二有何區(qū)別?這是進(jìn)入高三同學(xué)都很關(guān)心的。高三數(shù)學(xué)表面看是應(yīng)對(duì)高考，其實(shí)，在這一過(guò)程中，始終都涉及各種能力的綜合培養(yǎng)與提高。

夯實(shí)基礎(chǔ)是高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一關(guān)，要把各數(shù)學(xué)分支的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能掌握好。由于高考是選拔性考試，有些試題的綜合性較強(qiáng)，對(duì)技能技巧要求較高，因此高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是要掌握基礎(chǔ)，還要善于解答一些綜合性強(qiáng)的問(wèn)題，這是第二關(guān)。

一道綜合題可以把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，因而解題環(huán)節(jié)多，解題過(guò)程長(zhǎng)，思維強(qiáng)度大，細(xì)心程度高，哪兒出了一點(diǎn)問(wèn)題都會(huì)功虧一簣。我們來(lái)看一個(gè)例子。

例如：

已知奇函數(shù)f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上有定義，且在(0，+∞)上是增函數(shù)，f(1)=0;函數(shù)g(θ)=sin2θ+m·cosθ-2m，θ∈[0，π/2]。若集合M={mg(θ)<0}，集合N={mf[g(θ)<0]}，求M∩N。

本題中N是f(x)的復(fù)合函數(shù)，且不知其具體的表達(dá)式，無(wú)法求出M與N的交集。當(dāng)解題困難時(shí)，回到已知，因f(x)是奇函數(shù)且在(0，+∞)上是增函數(shù)，故f(x)在(—∞，0)上也是增函數(shù)。由f(1)=0知f(-1)=0，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)f(x)<0時(shí)可得x<1或0

∴N={mf[g(θ)]<0]}={mg(θ)<-1或0

∴M∩N={{mg (θ)<-1}。即sin2θ+m·cosθ-2m+1<0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式cos2θ-m·cosθ+2m-2>0恒成立。

這是一個(gè)雙變量不等式，誰(shuí)是主元?從條件看是m。但同學(xué)們最熟悉的是“反客為主”的解題思想：令t=cosθ，則t∈[0,1]，視為t的二次函數(shù)，即：Φ(t)=t2-mt+2m-2=(t-m/2)2+2m-2-m2/4，t∈[0,1]。這是“軸變區(qū)間定型”最值問(wèn)題，分三種情況討論，解得M∩N={mm>4-2 }。

若從主元m的角度考慮，就會(huì)想到用分離變量法來(lái)解：t2-mt+2m-2>0 <=> m>(2-t2)/(2-t)，

令h(t)=(2-t2)/(2-t)，則h(t)=t2+2/(t-2)+4≤4-2 => m>4-2 。

本題集合只是一種符號(hào)語(yǔ)言，涉及主要知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)、三角、不等式。

本題涉及主要數(shù)學(xué)思想方法有：

(1)數(shù)形結(jié)合思想

此題中有兩處用到這種方法，其一是由f (x)<0得x<1或0

(2)轉(zhuǎn)化與化歸的思想

把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù) (或不等式)在閉區(qū)間的最值(恒成立)問(wèn)題是第一次轉(zhuǎn)化，本來(lái)要求m的范圍，卻把m視為常數(shù)，轉(zhuǎn)化為t為變量的二次函數(shù)(或分式函數(shù))，“欲擒故縱”是第二次轉(zhuǎn)化。

本題涉及的技能技巧有：

(1)配方法。不要小瞧它，不少同學(xué)配方時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)，要格外注意，尤其是對(duì)含參數(shù)的二次函數(shù)配方。

(2)把二次分式轉(zhuǎn)化為能利用重要不等式的恒等變形。

(3)函數(shù)最值的恒成立問(wèn)題：若m>f(x)恒成立，且M=f(x)max，則m>M。

(4)分離變量法。

思想方法和技能技巧是解題的明線，還有暗線。這就是每個(gè)人的學(xué)習(xí)方法、意志力和細(xì)心程度，而這往往不為同學(xué)所重視。同一個(gè)問(wèn)題，水平相當(dāng)?shù)耐瑢W(xué)有的同學(xué)可以做出來(lái)，有的同學(xué)做不出來(lái)，或同一個(gè)問(wèn)題對(duì)同一個(gè)人而言，在不同的情景、不同的心態(tài)、不同的解題欲望下就會(huì)有不同的結(jié)果。方法靠平時(shí)積累，意志力靠解題培養(yǎng)，也靠一個(gè)人的人生觀和價(jià)值觀的支持。就本題而言，不少同學(xué)剛看到題目覺(jué)得頭緒多，條件抽象，感到無(wú)從下手，意志薄弱者會(huì)放棄，而意志堅(jiān)強(qiáng)者充滿自信，靜下來(lái)認(rèn)真分析會(huì)逐漸發(fā)現(xiàn)解法，即使不能完全解到底，也能解答部分。

細(xì)心是做好一件事的重要保證，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有特別意義。有些同學(xué)每次考試總免不了犯 “低級(jí)錯(cuò)誤”，丟三落四，離開(kāi)考場(chǎng)就后悔。每次都以“粗心”為托詞，總是改不了。其實(shí)“粗心”的背后有多種原因，有考試環(huán)境中的緊張心態(tài)，忙中出錯(cuò)，有基礎(chǔ)知識(shí)不牢加上考試緊張?jiān)斐傻某ＷR(shí)錯(cuò)誤，還有一些是平時(shí)暴露出來(lái)的問(wèn)題沒(méi)有引起重視，考試時(shí)集中反映出來(lái)等，解決的辦法是要認(rèn)真對(duì)待每一次失誤，找出原因，制定切實(shí)的改正措施并落到實(shí)處，這樣考試中才能發(fā)揮實(shí)際水平。少一些遺憾，你的考試就成功了!

本題解答過(guò)程較長(zhǎng)(上述是簡(jiǎn)寫(xiě))，如果轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解，要解三個(gè)不等式組，計(jì)算量大，稍有疏忽就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤;若用分離變量法，對(duì)代數(shù)式恒等變形要求較高，且最后一步對(duì)抽象思維能力要求較高。這些環(huán)節(jié)中每步都不能有差錯(cuò)，才能達(dá)到正確結(jié)果。

剛進(jìn)入高三的同學(xué)會(huì)覺(jué)得有些綜合題“彎子太多”，有些知識(shí)遺忘，不能很快銜接起來(lái)，一時(shí)不太適應(yīng)，一旦適用就好了。倒是一些是平時(shí)學(xué)習(xí)比較刻苦，但靈活性不夠的同學(xué)隊(duì)綜合題會(huì)感到困難。不過(guò)這些同學(xué)不必自卑，萬(wàn)丈高樓平地起，有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)總能拾級(jí)而上，高考是選拔性考試，不必人人都得滿分。

由此可知，高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首先要重基礎(chǔ)，掌握基本公式、定理法則，并在解題實(shí)踐中學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。在此前提下，注重思想方法的運(yùn)用，提高分析和解決問(wèn)題的能力，當(dāng)知識(shí)和能力達(dá)到一定程度以后，成績(jī)的提高取決于細(xì)心程度和意志力。

這樣我們知道高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的狀況是：基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能掌握情況反映數(shù)學(xué)水平高低，細(xì)心程度決定考試成績(jī)，意志磨礪貫穿學(xué)習(xí)始終。

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