【讀者按】距離2012年高考還有一段的時(shí)間，留給考生朋友們的時(shí)間也是有越來(lái)越緊迫了。所以利用有限的時(shí)間盡可能的提高分?jǐn)?shù)是當(dāng)務(wù)之急，下邊小編為大家總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容希望對(duì)大家有所幫助。
二次函數(shù)問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，很受命題者的青睞，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題是二次函數(shù)的重要題型之一。本代系統(tǒng)歸納這種問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略。
一、正向型
是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱(chēng)軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。此類(lèi)問(wèn)題包括以下四種情形：(1)軸定，區(qū)間定;(2)軸定，區(qū)間變;(3)軸變，區(qū)間定;(4)軸變，區(qū)間變。
1. 軸定區(qū)間定
例1. (2002年上海)已知函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值。
解析： 時(shí)，
所以 時(shí)， 時(shí)，
2. 軸定區(qū)間動(dòng)
例2. (2002年全國(guó))設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù) ，求f(x)的最小值。
解析：
(1)當(dāng) 時(shí)，
①若 ，則 ;
②若 ，則
(2)當(dāng) 時(shí)，
①若 ，則 ;
②若 ，則
綜上所述，當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， ;當(dāng) 時(shí)， 。
3. 軸動(dòng)區(qū)間定
例3. 求函數(shù) 在區(qū)間 上的最小值。
解析：
(1)當(dāng) ，即 時(shí)， ;
(2)當(dāng) ，即 時(shí)， ;
(3)當(dāng) ，即 時(shí)， 。
綜上，
評(píng)注：已知 ，按對(duì)稱(chēng)軸與定義域區(qū)間的位置關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合可得 在 上的最大值或最小值。
4. 軸變區(qū)間變
例4. 已知 ，求 的最小值。
解析：將 代入u中，得
① ，即 時(shí)，
② ，即 時(shí)，
所以
二、逆向型
是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中的參數(shù)值。
例5. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。
解析：
(1)若 ，不合題意。
(2)若 ，則
由 ，得
(3)若 時(shí)，則
由 ，得
綜上知 或
例6. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上的值域是 ，求m，n的值。
解析1：討論對(duì)稱(chēng)軸 中1與 的位置關(guān)系。
①若 ，則
解得
②若 ，則 ，無(wú)解
③若 ，則 ，無(wú)解
④若 ，則 ，無(wú)解
綜上，
解析2：由 ，知 ，則 ，f(x)在 上遞增。
所以
解得
評(píng)注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過(guò)整個(gè)定義域上的最值，縮小了m，n的取值范圍，避開(kāi)了繁難的分類(lèi)討論，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。
例7. 已知二次函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值。
分析：這是一個(gè)逆向最值問(wèn)題，若從求最值入手，需分 與 兩大類(lèi)五種情形討論，過(guò)程繁瑣不堪。若注意到 的最值總是在閉區(qū)間的端點(diǎn)或拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)處取到，因此先計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，過(guò)程簡(jiǎn)明。
解：(1)令 ，得
此時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為 ，且
故 不合題意;
(2)令 ，得 ，此時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，閉區(qū)間的右端點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)些，故 符合題意;
(3)若 ，得 ，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。
綜上， 或
評(píng)注：本題利用特殊值檢驗(yàn)法，先計(jì)算特殊點(diǎn)(閉區(qū)間的端點(diǎn)、拋物線(xiàn)的頂點(diǎn))的函數(shù)值，再檢驗(yàn)其真假，思路明了、過(guò)程簡(jiǎn)潔，是解決逆向型閉區(qū)間二次函數(shù)最值問(wèn)題的一種有效方法。
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