談到做實驗,容易聯想到物理實驗、化學實驗、生物實驗等;談到學數學,自然會聯想到做數學題.題海戰(zhàn)術幾乎成為數學學科的代名詞,難道做數學也可以做實驗?
我們不妨先看一道中考題:
例1如圖1,在平面直角坐標系xOy中,邊長為a(a為大于0的常數)的正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點P,頂點A在x軸正半軸上運動,頂點B在y軸正半軸上運動(x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O),頂點C,D都在第一象限.
(1)當∠BAO=45°時,求點P的坐標.
(2)求證:無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動,點P都在∠AOB的平分線上.
(3)設點P到x軸的距離為h,試確定h的取值范圍,并說明理由.
(1)(2)小題比較簡單,略去.
如上即是用數學實驗的方法解決了這道題.實際上,畫個草圖,通過觀察法就能確定線段的取值范圍.該方法形象直觀,是解決動態(tài)問題的好方法.
數學課程標準指出:“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的,這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動.”
數學實驗是為了探索數學知識、檢驗數學結論(或假設)而進行的某種操作或思維活動,可以使學生逐步學會數學思維的物質實踐方法,掌握數學研究的規(guī)律,培養(yǎng)理性思考問題的習慣,能夠解決學科的和實際生活的問題,并檢驗和論證問題的結果.這是新課標所倡導的數學素養(yǎng)和數學的人文價值所在!因此,應當重視數學實驗的解題功能.
一、用數學實驗解決一般與特殊的關系
有的人片面地認為數學抽象、枯燥無味.其實,正是數學的抽象才帶來其應用的廣泛性.數學主要研究一般規(guī)律,我們不可用特殊來代替一般.另一方面,特例或舉例卻是我們常用的探索方法,用特例可以推翻一個結論,用舉例也能解題.
例2如圖7,在菱形ABCD中,∠B=60°,點E,F分別從點B,D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC,DC向點C運動.給出以下四個結論:①AE=AF;②∠CEF=∠CFE;③當點E,F分別為邊BC,DC的中點時,△AEF是等邊三角形;④當點E,F分別為邊BC,DC的中點時,△AEF的面積最大.上述結論中正確的序號有_________.
分析①②③易證是正確的.我們通過實驗的方法來解決問題④.通過實驗的方法,發(fā)現當E,F兩點沒有運動時,△AEF的面積為菱形面積的一半,當E,F分別為邊BC,DC的中點時,△AEF的面積應是菱形面積的一半減去△CEF的面積,所以,在E,F兩點運動到中點的過程中,△AEF的面積逐漸減小,故結論④錯誤.這時還應通過建立函數關系式的方法來證明這個結論是錯誤的.
學生在解決動點問題時,經常會因找不到突破口而困惑,此時可以引導學生通過做數學實驗獲得解題途徑.本題通過實驗,不僅簡潔解決了問題,重要的是引導學生進行觀察、分析、猜想、推證等一系列思維活動,不斷探索,主動建構了新知,體現了新課標強調學生對新知識的探求和創(chuàng)新的理念.重要的是“觀察—猜想—驗證—證明”,這正是數學家思維活動的濃縮.因此,在數學教學中應重視非邏輯證明的教學;適當降低和減少邏輯演繹在數學教學中的地位與時間,加強實驗、猜測、類比、歸納等合情推理在數學教學中的地位與作用.
二、用數學實驗解決精確與毛估的關系
毛估是一種快速的近似估算,它的基本特點是對數值作擴大或縮小,從而對運算結果確定出一個范圍或作出一個估計,更本質地看毛估,它應該是一種數學實驗,是直覺基礎上的一種數學意識.數學要求精確,但毛估有時還真能解決問題.
分析直接計算很繁,若通過實驗—放縮法,可估算出S的取值范圍,問題就迎刃而解了.
毛估這種數學實驗通過具體性、經驗性的實驗操作活動,能不斷地豐富學生的思維表象,促進學生思維由形象直觀到抽象論證的轉化,促進學生合情推理和演繹推理的和諧發(fā)展,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和實踐能力.
三、用數學實驗探究解題思路
學生在解決運動問題時,可以引導學生通過幾何畫板做數學實驗獲得解題途徑.
例5如圖8,一個長為10米的梯子沿著墻壁滑動,梯子中點經過的路徑有多長?
對于此題,學生的難點在于判斷中點的軌跡是什么圖形.可通過多畫幾個位置,描出中點找到規(guī)律.但利用幾何畫板構造圖形,用跟蹤點的研究就更直觀.通過實驗,學生可以得到其軌跡是以點C為圓心,梯子的一半長為半徑的圓,根據弧長公式,可以得出,梯子中點經過的路徑是2.5π.
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