一. 本周教學內容：圓的方程，空間兩點的距離公式
教學目的：
1. 理解并掌握圓的標準方程，會根據(jù)不同條件求得圓的標準方程，能從圓的標準方程中熟練求出它的圓心和半徑；能夠運用圓的標準方程解決一些簡單的實際問題；探索并掌握圓的一般方程，會用待定系數(shù)法求圓的標準方程和一般方程。
2. 能夠根據(jù)給定直線、圓的方程，會用代數(shù)討論直線與圓的三種位置關系；能夠根據(jù)給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關系。
3. 掌握空間直角坐標系的有關概念，會根據(jù)坐標找相應的點，會寫一些簡單幾何題的有關坐標；掌握空間兩點的距離公式，會應用距離公式解決有關問題。
二. 重點、難點
重點：
1. 圓的標準方程以及會根據(jù)不同條件求得圓的標準方程；圓的一般方程和如何由圓的一般方程求圓的圓心坐標和半徑長，理解關于二元二次方程表示圓的條件。
2. 直線和圓的位置關系的判斷和應用；兩圓位置關系的判斷。
3. 空間直角坐標系和點在空間直角坐標系中的坐標；空間兩點距離公式。
難點：
1. 圓的標準方程的探尋過程和對圓的一般方程的認識。
2. 通過圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷直線與圓的位置關系；通過兩圓方程聯(lián)立方程組的解來研究兩圓位置關系。
3. 確定點在空間直角坐標系中的坐標；空間距離公式的推導。
分析：
（一）圓的標準方程
1. 圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓。定點叫圓的圓心，定長叫做圓的半徑。
2. 圓的標準方程：已知圓心為（a，b），半徑為r，則圓的方程為 ；
若點M（x1，y1）在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑，即
（二）圓的一般方程
任何一個圓的方程都可以寫成下面的形式：
②
當 ）為圓心，以 時，方程①只有實數(shù)解 高中生物 ）；
當 時，方程①表示一個圓，方程①叫做圓的一般方程。
圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：
（1）<0" > 和<1" > 的系數(shù)相同，且不等于0；
（2）沒有xy這樣的二次項。
以上兩點是二元二次方程 ；
（2）過圓 ；
（3）過圓
3. 直線與圓的位置關系中的三個基本問題
（1）判定位置關系。方法是比較d與r的大小。
（2）求切線方程。若已知切點M（x0，y0），則切線方程為
；
若已知切線上一點N（x0，y0），則可設切線方程為
（四）圓與圓的位置關系
1. 圓與圓的位置關系問題
判定兩圓的位置關系的方法有二：第一種是代數(shù)法，研究兩圓的方程所組成的方程組的解的個數(shù)；第二種是研究兩圓的圓心距與兩圓半徑之間的關系。第一種方法因涉及兩個二元二次方程組成的方程組，其解法一般較繁瑣，故使用較少，通常使用第二種方法，具體如下：
圓 的位置關系，其中
當 時，兩圓外離；
當 時，兩圓外切；
當 時，兩圓相交；
當 時，兩圓內含
注意：兩圓的位置關系可表示在一條數(shù)軸上，如圖所示：
兩圓位置關系的問題同直線與圓的位置關系的問題一樣，一般要轉化為距離間題來解決。另外，我們在解決有關圓的問題時，應特別注意，圓的平面幾何性質的應用。
2. 兩圓相交問題
（1）過兩已知圓
即 ，表示過兩圓的交點的直線（當兩圓是同心圓時，此直線不存在），當兩圓相交時，此直線為公共弦所在直線；當兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線；當兩圓相離時，此直線為與兩圓連心線垂直的直線。
（2）過直線與圓交點的圓系方程
設直線 相交，則方程l與圓C的兩個交點的圓系方程。
（五）空間直角坐標系
1. 空間直角坐標系
為了確定空間點的位置，我們在空間中取一點O作原點，過O點作三條兩兩垂直的數(shù)軸，通常用x、y、z表示．軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時針方向轉90°能與y軸的正半軸重合。這時，我們在空間建立了一個直角坐標系O－xyz。在這個過程中，三條坐標軸兩兩垂直是建立空間直角坐標系的基礎。
2. 點P的坐標
過點P作一個平面平行于平面yOz（這樣構造的平面同樣垂直于x軸），這個平面與x軸的交點記為P，它在x軸上的坐標為x，這個數(shù)x就叫做點P的x坐標。你能試述點P的y坐標，點P的z坐標嗎？
3. 坐標平面
每兩條坐標軸分別確定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐標平面。
4. 特殊點的坐標形式
xOy平面是坐標形如（x，y，0）的點構成的點集，其中x、y為任意實數(shù)；
xOz平面是坐標形如（x，0，z）的點構成的點集，其中x、z為任意實數(shù)；
yOz平面是坐標形如（0，y，z）的點構成的點集，其中y、z為任意實數(shù)；
x軸是坐標形如（x，0，0）的點構成的點集，其中x為任意實數(shù)；
y軸是坐標形如（0，y，0）的點構成的點集，其中y為任意實數(shù)；
z軸是坐標形如（0，0，z）的點構成的點集，其中z為任意實數(shù)。
5. 卦限
三個坐標平面把空間分為八部分，每一部分稱為一個卦限。
在坐標平面xOy上方分別對應該坐標平面上四個象限的卦限稱為第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限稱為第Ⅴ、第Ⅵ，第Ⅶ、第Ⅷ卦限。在每個卦限內點的坐標各分量的符號是不變的。例如在第Ⅰ卦限，三個坐標分量x、y、z都為正數(shù)；在第Ⅱ卦限，x為負數(shù)，y、z均為正數(shù)。
（六）空間兩點的距離公式
空間兩點A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）的距離公式是
特別的，點A（x，y，z）到原點的距離為
【典型例題】
例1. 求滿足下列條件的各圓的方程：
（1）圓心在原點，半徑是3；
（2）圓心在點C（3，4），半徑是 ；
（3）
因為圓與坐標軸相切，故圓心滿足 ，
又圓心在直線 ，
解方程組 ，得：
所以圓心坐標為（4，4），或（1，－1）
于是可得半徑 或 。
（5）設圓心為（a,－2a）由題意，圓與直線
解得：a＝1
所以所求圓的圓心為（1，－2），半徑為
故圓的方程為 ，則
解得
法二：因為圓過A（5，2），B（3，－2）兩點，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，線段AB的垂直平分線方程為
解得
所求圓的方程為
又圓C與y軸相切得 ①
又圓心在直線 上， ②
圓心C（a，b）到直線 ③
聯(lián)立①②③解方程組可得
或
將A（2，－2），B（5，3），C（3，－1）三點的坐標代入圓的方程
得
點評：一般來說，由題意知道所求的圓經(jīng)過幾點且不易得知圓心換半徑時，常用一般式。
例5. 已知圓
由 消去y，得
即
（1）令
當 或 ，即 時，直線與圓相交
（3）令 或 或 ，即 ， 或 時，即 即 ，即
即 時直線與圓相離
點評：解決直線與圓的位置關系，幾何法比代數(shù)法簡單。
例6. 已知直線 ，曲線 ，它們有兩個公共點，求b的取值范圍。
解析：法一，曲線C中，l和C有兩個公共點，等價于方程組 有兩組不同解，又等價于 ，有兩組不同解，消去x得l有兩個公共點，等價方程有兩個不等非負實數(shù)解
于是
解得 表示單位圓位于x軸及其上方的半圓，如圖所示。當l與C有兩交點，此時b＝1，記為 與半圓相切時，切線記為 ；當 與 之間時， 。
， 解析：法一
解方程組
得交點坐標分別為（0，2）（－4，0）
設所求圓心坐標為（a，－a）
則
解得
法二：同法一，得兩已知圓的交點的坐標為（0，2），（－4，0）
設所求的圓的方程為
解得
法三，設所求圓的方程為
因為這個圓的圓心在直線 上
所以
圓的方程為1、點（2，0，3）在空間直角坐標系中的位置是在（ ）
A. y軸上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限內
2、點M（2，－3，1）關于坐標原點的對稱點是（ ）
A. （－2，3，－1） B. （－2，－3，－1）
C. （2，－3，－1） D. （－2，3，1）
3、設點B是點A（2，－3，5）關于xOy面的對稱點，則AB等于（ ）
A. 10 B. D. 38
4、設有圓M： ，點P（2，1），那么（ ）
A. 點P在直線l上，但在圓M上
C. 點P在直線l上，也不在圓M上
5、設M是圓 上的點，則M到直線 的最小距離是（ ）
A. 9 B. 8 C. 5 D. 2
6、方程A.
C.
7、過點P（3，0）能有多少條直線與圓A. 0條 B. 1條 C. 2條 D. 1條或2條
8、直線 被圓A. B. 2 C. D.
9、直線 所截得線段的中點坐標是（ ）
A. D. 10、若圓 關于直線 對稱，那么直線 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
11、與兩坐標軸都相切，且過點（2，1）的圓的方程是____________________
12、過點（0，0），（1，0），（0，2）的圓的方程是__________________________
13、若實數(shù)x ，y滿足 ，則 ，則 的最大值為__________________
15、一圓過點P（－4，3），圓心在直線 相切，且和直線 ，求該圓的方程。
【答案】
1～10：C A A A D D A C A D
11、 13、 14、 ，
依題意，得：
解得：
所以所求圓的方程為
16、設此圓的方程為 ，
解得：
所以所求圓的方程是
或 或
17、設⊙P的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為b，a，由題設知⊙P截x軸所得劣弧所對圓心角為90°，知⊙P截x軸所得的弦長為 r，故2b＝ r，得：r2=2b2
又⊙P被y軸解得的弦長為2，由勾股定理得：r2＝a2＋1，得：2b2－a2＝1。
又因為P（a,b）到直線x－2y＝0的距離為 ，即有
解得： ，于是r2＝2b2＝2
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