雖然我們?cè)?a href='http://m.portlandfoamroofing.com/gaozhong/' target='_blank'>高中都未曾接觸真正意義上的極限思想，不過在一些內(nèi)容上卻隱隱約約透露著極限思想。若能在平時(shí)的教學(xué)中透露出一些這樣的思想，那么對(duì)于學(xué)生以后進(jìn)一步的學(xué)習(xí)將起到非常好的啟蒙作用。我在《中學(xué)數(shù)學(xué)的極限思想》一文中舉了兩個(gè)特別好的例子，今天我再舉一個(gè)分段函數(shù)單調(diào)性的例子，剛好契合學(xué)生現(xiàn)在的進(jìn)度。
首先我們要明白：一個(gè)分段函數(shù)要在定義域內(nèi)單調(diào)，需包括兩方面，一個(gè)是區(qū)間單調(diào)，一個(gè)是端點(diǎn)單調(diào)。討論這一問題要從兩個(gè)角度來考慮，一個(gè)是分段，一個(gè)是整體。簡(jiǎn)單來說就是：
函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）和（c，d）單調(diào)遞增，其中c≥b，那么f(x)在（a，b）∪（c，d）上單調(diào)遞增的條件是：將c帶入（c，d）所對(duì)于的解析式求得一值m，再將b帶入（a，b）所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式求得一值n，那么n≥m。
這句話說得有些別扭，以一個(gè)例子說明：
分析：首先我們確定，由于x≥a時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增，所以f(x)只能是單調(diào)遞增。要在定義域上單調(diào)遞增，就包括兩個(gè)方面??首先函數(shù)在x<a時(shí)單調(diào)，那么就要求b>0，然后必須滿足端點(diǎn)單調(diào)，即：
將端點(diǎn)a帶入x-b得到的值a-b，要比將a帶入bx得到的值ab大或者相等，即a-b≥ab，加上b>0，就是a和b必須滿足的條件。
當(dāng)然對(duì)于這道題而言是沒有什么難度的，我們要從中看到的，是這里面涉及到的極限思想：當(dāng)x<a時(shí)的解析式bx嚴(yán)格來說是不能帶a的，因?yàn)檫@個(gè)解析式只適合于x<a的自變量。而這里這樣做，如果非要說個(gè)原因的話，那必須涉及到極限思想：那就是要求函數(shù)f(x)在x=a右端的極限值要比左端的極限值要大或者相等，由于高中階段接觸的函數(shù)都是初等函數(shù)，所以直接把端點(diǎn)值帶入即可。如果我們帶入端點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)分母為零、偶次根號(hào)下為負(fù)數(shù)等無意義的情況，那就直接可以說明此函數(shù)在此端點(diǎn)不單調(diào)。
內(nèi)容很簡(jiǎn)單，但我希望真的能在這些地方給學(xué)生傳遞出所涉及到的極限思想。大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)之間不應(yīng)該有那么大的縫隙。這種不同年級(jí)之間內(nèi)容上的平滑過渡是我們的教育應(yīng)該關(guān)注的問題。（來源：學(xué)夫子數(shù)學(xué)博客）
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