這七個“世界難題”是：NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設(shè)、楊?米爾斯理論、納衛(wèi)爾-斯托可方程、BSD猜想。這七個問題都被懸賞一百萬美元。
問題提出
數(shù)學(xué)大師大衛(wèi)?希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開的第二屆世界數(shù)學(xué)家大會上的著名演講中提出了23個數(shù)學(xué)難題。希爾伯特問題在過去百年中激發(fā)數(shù)學(xué)家的智慧，指引數(shù)學(xué)前進(jìn)的方向，其對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響和推動是巨大的，無法估量的。
20世紀(jì)是數(shù)學(xué)大發(fā)展的一個世紀(jì)。數(shù)學(xué)的許多重大難題得到完滿解決， 如費(fèi)馬大定理的證明，有限單群分類工作的完成等， 從而使數(shù)學(xué)的基本理論得到空前發(fā)展。
2000年初美國克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會選定了七個“千年大獎問題”，克雷數(shù)學(xué)研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得一百萬美元的獎勵。
克雷數(shù)學(xué)研究所“千年大獎問題”的選定，其目的不是為了形成新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的新方向， 而是集中在對數(shù)學(xué)發(fā)展具有中心意義、數(shù)學(xué)家們夢寐以求而期待解決的重大難題。
2000年5月24日，千年數(shù)學(xué)會議在著名的法蘭西學(xué)院舉行。會上，97年菲爾茲獎獲得者伽沃斯以“數(shù)學(xué)的重要性”為題作了演講，其后，塔特和阿啼亞公布和介紹了這七個“千年大獎問題”�？死讛�(shù)學(xué)研究所還邀請有關(guān)研究領(lǐng)域的專家對每一個問題進(jìn)行了較詳細(xì)的詳述�？死讛�(shù)學(xué)研究所對“千年大獎問題”的解決與獲獎作了嚴(yán)格規(guī)定。每一個“千年大獎問題”獲得解決并不能立即得獎。任何解決答案必須在具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表兩年后且得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可，才有可能由克雷數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會審查決定是否值得獲得百萬美元大獎。
其中有一個已被解決(龐加萊猜想，由俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里?佩雷爾曼破解)，還剩六個。
“千年大獎問題”公布以來， 在世界數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了強(qiáng)烈反響。這些問題都是關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的，但這些問題的解決將對數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用的深化產(chǎn)生巨大推動。認(rèn)識和研究“千年大獎問題”已成為世界數(shù)學(xué)界的熱點(diǎn)。不少國家的數(shù)學(xué)家正在組織聯(lián)合攻關(guān)。 “千年大獎問題” 將會改變新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程。
七大難題1.NP完全問題
例：在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識的人。宴會的主人向你提議說，你一定認(rèn)識那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)宴會的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認(rèn)識的人。
生成問題的一個解通常比驗(yàn)證一個給定的解時間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13717421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗(yàn)證這是對的。
人們發(fā)現(xiàn)，所有的完全多項(xiàng)式非確定性問題，都可以轉(zhuǎn)換為一類叫做滿足性問題的邏輯運(yùn)算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)計算，人們于是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內(nèi)部知識來驗(yàn)證，還是沒有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時間來求解，被看作邏輯和計算機(jī)科學(xué)中最突出的問題之一。它是斯蒂文?考克于1971年陳述的。
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二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對象的形狀的強(qiáng)有力的辦法�；鞠敕ㄊ菃栐谠鯓拥某潭壬希覀兛梢园呀o定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)致一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進(jìn)行分類時取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件�；羝娌孪霐嘌裕瑢τ谒^射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
3。龐加萊猜想
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對應(yīng)問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
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