八年級第17章勾股定理專項練習
練習一(18.1)
1. 如圖字母B所代表的正方形的面積是 ( )
A. 12 B. 13 C. 144 D. 194
2.小剛準備測量河水的深度,他把一根竹竿插到離岸邊1.5遠的水底,竹竿高出水面0.5,把竹竿的頂端拉向岸邊,竿頂和岸邊的水平剛好相齊,河水的深度為( ).
A.2 B.2.5c C.2.25 D.3
3.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,則△ABC的周長是( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
4、已知x、y為正數(shù)，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（ ）
A、5B、25C、7D、15
5. 直角三角形的兩條直角邊長為a,b,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. +=
6.已知，如圖，在矩形ABCD中，P是邊AD上的動點， 于E，于F，如果AB=3，AD=4，那么（ ）
A.； B. ＜＜；
C. D. ＜＜
7．（1）在Rt△ABC中，∠C=90°．
①若AB=41，AC=9，則BC=_______；
②若AC=1.5，BC=2，則AB=______，△ABC的面積為________．
8.在布置新年聯(lián)歡會的會場時,小虎準備把同學們做的拉花用上,他搬來了一架高為2.5米的梯子,要想把拉花掛在高2.4米的墻上,小虎應把梯子的底端放在距離墻________米處.
9.在△ABC中，∠C=900,，BC=60c,CA=80c,一只蝸牛從C點出發(fā)，以每分20c的速度沿CA-AB-BC的路徑再回到C點，需要______分的時間.
10.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20d、3d、2d，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是_________
11（荊門）.已知直角三角形兩邊x、y的長滿足｜x2－4｜＋＝0，則第三邊長為＿＿＿＿＿＿.
12.如圖7所示,Rt△ABC中,BC是斜邊,將△ABP繞點A逆時針旋轉后,能與△ACP′重合,如果AP=3,你能求出PP′的長嗎?
13.如圖4為某樓梯,測得樓梯的長為5米,高3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要多少米?
14.如圖2，小李準備建一個蔬菜大棚，棚寬4米，高3米，長20米，棚的斜面用塑料布遮蓋，不計墻的厚度，請計算陽光透過的最大面積.
15．如圖，每個小方格的邊長都為1．求圖中格點四邊形ABCD的面積．
16.如圖所示,有一條小路穿過長方形的草地ABCD,若AB=60,BC=84,AE=100,則這條小路的面積是多少?
17．4個全等的直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c．現(xiàn)把它們適當拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這個圖形可以驗證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請試一試．
18. 如圖3,長方體的長BE=15c,寬AB=10c,高AD=20c,點在CH上,且C=5c,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點,需要爬行的最短距離是多少?
19．《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70k/h．如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀的正前方30處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50．這輛小汽車超速了嗎？
20．如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進行折紙，已知該紙片寬AB為8c，長BC為10c．當小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處（折痕為AE）．想一想，此時EC有多長？
21.有一塊三角形的花圃ABC,現(xiàn)可直接測得∠A=30,AC=40,BC=25,請你求出這塊花圃的面積.
22.如圖所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且AB+BC=18c,若要求出CD和AC的長,還需要添加什么條件?
23.四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第二個正方形AEGH，如此下去……．
�、庞浾叫蜛BCD的邊長為，按上述方法所作的正方形的邊長依次為，請求出的值；
�、聘鶕�(jù) 以上規(guī)律寫出的表達式．
24.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC長為 p，BBl是∠ABC的平分線交AC于點B1，過B1作B1B2⊥AB于點B2，過B2作B2B3∥BC交AC于點B3，過B3作B3B4⊥AB于點B4，過B4作B4B5∥BC交AC于點B5，過B5作B5 B6⊥AB于點B6，…，無限重復以上操作．設b0=BBl，b1=B1B2，b2=B2B3，b3=B3B4，b4=B4B5，…，bn=BnBn+1，…．
(1)求b0，b3的長；
(2)求bn的表達式(用含p與n的式子表示，其中n是正整數(shù))
25、已知：在Rt△ABC中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，設△ABC的面積為S，周長為l．
�、盘畋恚�
三邊a、b、ca＋b－c
3、4、52
5、12、134
8、15、176
�、迫绻鸻＋b－c＝，觀察上表猜想：＝__________(用含有的代數(shù)式表示)．
�、亲C明⑵中的結論．
26．如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形稱為“格點多邊形”．如圖（一）中四邊形ABCD就是一個“格點四邊形”．
�。�1）求圖（一）中四邊形ABCD的面積；
�。�2）在圖（二）方格紙中畫一個格點三角形EFG，使△EFG的面積等于四邊形ABCD的面積且為軸對稱圖形．
圖（一） 圖（二）
練習二(18.2)
1.有五組數(shù)：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52，以各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的個數(shù)為( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.三角形的三邊長分別為6,8,10，它的最短邊上的高為( )
A.6 B.4.5 C.2.4 D.8
3.下列各組線段中的三個長度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a、5a（a>0）；⑤2-n2、2n、2+n2（、n為正整數(shù)，且>n）其中可以構成直角三角形的有（ ）
A、5組； B、4組； C、3組； D、2組
4.在同一平面上把三邊BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最長邊AB翻折后得到△ABC′，則CC′的長等于（ ）
A、； B、； C、； D、
5. 下列說法中, 不正確的是 ( )
A. 三個角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形
B. 三個角的度數(shù)之比為3:4:5的三角形是直角三角形
C. 三邊長度之比為3:4:5的三角形是直角三角形
D. 三邊長度之比為5:12:13的三角形是直角三角形
6（呼和浩特）如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（ ）
A. CD、EF、GHB. AB、EF、GH
C. AB、CD、GHD. AB、CD、EF
7.如圖4所示,所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的邊長為7c,則正方形A,B,C,D的面積的和是_______c2.
8．已知2條線段的長分別為3c和4c，當?shù)谌龡l線段的長為_______c時，這3條線段能組成一個直角三角形．
9、在△ABC中，若其三條邊的長度分別為9、12、15，則以兩個這樣的三角形所拼成的長方形的面積是________．
10. 傳說,古埃及人曾用＂拉繩”的方法畫直角,現(xiàn)有一根長24厘米的繩子,請你利用它拉出一個周長為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長度分別為_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________
11．小芳家門前有一個花圃，呈三角形狀，小芳想知道該三角形是不是一個直角三角形，請問她可以用什么辦法來作出判斷？你能幫她設計一種方法嗎？
12.給出一組式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……
(1)你能發(fā)現(xiàn)上式中的規(guī)律嗎?
(2)請你接著寫出第五個式子.
13．觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……
這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢？請你結合有關知識進行研究．如果132=b+c，則b、c的值可能是多少
14．如圖，是一塊由邊長為20c的正方形地磚鋪設的廣場，一只鴿子落在點A處，它想先后吃到小朋友撒在B、C處的鳥食，則鴿子至少需要走多遠的路程？
15．如圖，在△ABC中，AB=AC=13，點D在BC上，AD=12，BD=5，試問AD平分∠BAC嗎？為什么？
16．如圖，是一個四邊形的邊角料，東東通過測量，獲得了如下數(shù)據(jù)：AB=3c，BC=12c，CD=13c，AD=4c，東東由此認為這個四邊形中∠A恰好是直角，你認為東東的判斷正確嗎？如果你認為他正確，請說明其中的理由；如果你認為他不正確，那你認為需要什么條件，才可以判斷∠A是直角？
17. 學習了勾股定理以后,有同學提出”在直角三角形中,三邊滿足a+b=c,或許其他的三角形三邊也有這樣的關系’’.讓我們來做一個實驗!
(1)畫出任意一個銳角三角形,量出各邊的長度(精確到1毫米),較短的兩條邊長分別是a=______;b=_______;較長的一條邊長c=_______. 比較a+b=______c(填寫’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’);
(2)畫出任意的一個鈍角三角形,量出各邊的長度(精確到1毫米),較短的兩條邊長分別是a=______;b=_______;較長的一條邊長c=_______. 比較a+b=______c(填寫’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’);
(3)根據(jù)以上的操作和結果,對這位同學提出的問題,你猜想的結論是:_________________.
對你猜想與的兩個關系，利用勾股定理證明你的結論．
18.如圖（1）所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現(xiàn)將其剪開展成平面圖，如圖（2）所示．已知展開圖中每個正方形的邊長為1．
（1）求在該展開圖中可畫出最長線段的長度？這樣的線段可畫幾條？
（2）試比較立體圖中與平面展開圖中的大小關系？
18.1答案
1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A
7．（1）①40；②2.5；1.5
8.0.7 9. 12 10.25d
11.2或或 12.PP′=3. 13. 7米 14. 100平方米 15．12.5
16.解:∵BE==80(),
∴EC=84-80=4(),∴S陰=4×60=240(2).
17．由圖可知，邊長為a、b的正方形的面積之和等于邊長為c的正方形的面積
18. 25c
19．超速，經(jīng)計算的小汽車的速度為72k/h
20．由條件可以推得FC=4，利用勾股定理可以得到EC=3c．
21.提示:分銳角、鈍角三角形兩種情況:(1)S△ABC=(200+150)2;(2)S△ABC=(200-150)2.
22.提示:可給特殊角∠A=∠BCD=30°,也可給出邊的關系,如BC:AB=1:2等等.
23解：⑴;
;
�、�
∵;;
∴
24．(1)b0=2p
在Rt△B1B2中，b1=P．同理．b2= p/2
b3=3p/4
(2)同(1)得：b4=( /2)2p．
∴bn=( /2)n-1(n是正整數(shù))．
25、⑴填表：
三邊a、b、ca＋b－c
3、4、52
5、12、1341
8、15、176
⑵＝⑶證明：∵a＋b－c＝，∴a＋b＝＋c，
∴a2＋2ab＋b2＝2＋c2＋2c．
∵a2＋b2＝c2，∴2ab＝2＋2c
∴(＋2c)
∴＝＝
26解：（1）方法一：S＝×6×4
�。�12
方法二：S＝4×6－×2×1－×4×1－×3×4－×2×3＝12
（2）（只要畫出一種即可）
18.2節(jié)答案
1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B
7.49 8．5c或c 9. 108 10. 6,6,10 勾股定理的逆定理
11．方法不惟一．如：分別測量三角形三邊的長a、b、c（a≤b≤c），
然后計算是否有a2+b2=c2，確定其形狀
12.(1)(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2(n>1).
(2)352+122=372.
13．其中的一個規(guī)律為（2n+1）=2n（n+1）+[2n（n+1）+1]．
當n=6時，2n（n+1）、[2n（n+1）+1]的值分別是84、85
14．AB=5c，BC=13c．所以其最短路程為18c
15．AD平分∠BAC．因為BD2+AD2=AB2，
所以AD⊥BC，又AB=AC，所以結論成立
16．不正確．增加的條件如：連接BD，測得BD=5c．
17.解：若△ABC是銳角三角形，則有
若△ABC是鈍角三角形，為鈍角，則有．
當△ABC是銳角三角形時，
證明：過點A作ADBC，垂足為D，設CD為，則有BD＝
根據(jù)勾股定理，得
即．∴
∵，∴．∴．
當△ABC是鈍角三角形時，
證明：過B作BDAC，交AC的延長線于D．
設CD為，則有
根據(jù)勾股定理，得．
即．
∵，∴，∴．
18解：（1）在平面展開圖中可畫出最長的線段長為．
如圖（1）中的，在中
，由勾股定理得：
答：這樣的線段可畫4條（另三條用虛線標出）．
�。�2）立體圖中為平面等腰直角三角形的一銳角，
�。�
在平面展開圖中，連接線段，由勾股定理可得：
�。�
又，
由勾股定理的逆定理可得為直角三角形．
又，為等腰直角三角形．．
所以與相等．
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