第一章特殊的平行四邊形專項測試題(二)
一、單項選擇題（本大題共有15小題，每小題3分，共45分）
1、在菱形 中，對角線 ， 相交于點 ，則圖中全等的直角三角形共有( )
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
2、下列四個命題中，真命題是（）．
A. 四邊都相等的四邊形是正方形
B. 對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形
D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
3、如果要證明平行四邊形 為正方形，那么我們需要在四邊形 是平行四邊形的基礎上，進一步證明（）．
A. 與 互相垂直平分
B. 且
C. 且
D. 且
4、下列說法中錯誤的是（ �。�.
A. 對角線垂直的矩形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 四條邊相等的四邊形是正方形
D. 四個角相等的四邊形是矩形
5、如圖，在矩形 中， 為 的中點，連接 并延長交 的延長線于點 ，則圖中的全等三角形共有（）.
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
6、 在 中， ， 是邊 上一點， 交 于點 ， 交 于點 ，若要使四邊形 是菱形，只需添加條件( ).
A.
B.
C.
D.
7、過矩形 的四個頂點作對角線 、 的平行線分?交于 、 、 、 四點，則四邊形 是（ ).
A. 平行四邊形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
8、下列命題中，真命題是（ �。�
A. 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B. 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 兩條對角線相等的四邊形是矩形
9、用兩個完全相同的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等邊三角形，一定能拼成的圖形是
A. ①②④
B. ①②③
C. ①②⑤
D. ①④⑤
10、設 、 表示兩個集合，我們規(guī)定“ ”表示 與 的公共部分，并稱之為 與 的交集．例如：若 正數(shù) ， 整數(shù) ，則 正整數(shù) ．若 矩形 ， 菱形 ，則所對應的集合 是（ �。�
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四邊形
11、如圖所示，已知四邊形 的對角線 、 相交于點 ，則下列能判斷它是正方形的條件是（ �。�
12、如圖，在 中， ， ， ， 為邊 上一動點， 于 ， 于 ， 為 的中點，則 的最小值為（ �。�
13、如圖，四邊形 的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（ �。�
14、如圖，已知四邊形 的四邊都相等，等邊 的頂點 、 分別在 、 上，且 ，則 （ �。�
15、如圖所示，設 表示平行四邊形， 表示矩形， 表示菱形， 表示正方形，則下列四個圖形中，能表示它們之間關系的是（ �。�
二、填空題（本大題共有5小題，每小題5分，共25分）
16、邊長為 的正方形，對角線的長為______ .
17、有一組 相等的 四邊形是菱形.
18、1.正方形的定義
有一組鄰邊 且一個角是 的平行四邊形叫做正方形。
19、如果菱形的兩對角線分別為 和 ，則它的面積是 ．
20、如圖，在矩形 中， ，點 和點 分別從點 和點 出發(fā)，按逆時針方向沿矩形 的邊運動，點 和點 的速度分別為 和 ，則最快 后，四邊形 成為矩形．
三、解答題（本大題共有3小題，每小題10分，共30分）
21、如圖，在正方形 中，已知 是對角線 上一點，連接 、 ，延長 到 ，使 .求證： .
22、在平行四邊形 中，過點 作 于點 ，點 在邊 上， ，連接 ．
(1) 求證：四邊形 是矩形；
(2) 若 ，求證： 平分 ．
23、如圖，在 中， ， 的垂直平分線 交 于 ，交 于 ， 在 上，并且 ．
(1) 求證：四邊形 是平行四邊形．
(2) 求證：四邊形 是平行四邊形．
(3) 當 滿足什么條件時，四邊形 是菱形？請回答并證明你的結論．
第一章特殊的平行四邊形專項測試題(二) 答案部分
一、單項選擇題（本大題共有15小題，每小題3分，共45分）
1、在菱形 中，對角線 ， 相交于點 ，則圖中全等的直角三角形共有( )
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
【答案】D
【解析】解： 四邊形 是菱形
即圖中全等的直角三角形共有 對.
2、下列四個命題中，真命題是（）．
A. 四邊都相等的四邊形是正方形
B. 對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形
D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
【答案】B
【解析】解：
對角線互相垂直平分的四邊形可能是菱形也可能是正方形， 不是真命題，
對角線互相垂直且相等的四邊形可能是菱形也可能是正方形， 不是真命題，
對角線相等且互相平分的四邊形是矩形， 是真命題，
四邊都相等的四邊形可能是是菱形也可能是正方形， 不是真命題，
故答案為：對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．
3、如果要證明平行四邊形 為正方形，那么我們需要在四邊形 是平行四邊形的基礎上，進一步證明（）．
A. 與 互相垂直平分
B.
且
C. 且
D. 且
【答案】C
【解析】解：
且 ，只能證明四邊形是菱形，
且 錯誤，
且 ，能證明四邊形是正方形，
且 正確，
且 ，只能證明四邊形是矩形，
且 錯誤，
與 互相垂直平分，只能證明四邊形是菱形，
與 互相垂直平分錯誤，
故答案為： 且 ．
4、下列說法中錯誤的是（ ）.
A. 對角線垂直的矩形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 四條邊相等的四邊形是正方形
D. 四個角相等的四邊形是矩形
【答案】C
【解析】解：四個角相等的四邊形則每個角為90°，所以是矩形，該說法正確，不符合題意；
四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，該說法錯誤，符合題意；
對角線相等的菱形是正方形，該說法正確，不符合題意；
對角線垂直的矩形是正方形，該說法正確，不符合題意．
故正確答案選：四條邊相等的四邊形是正方形.
5、如圖，在矩形 中， 為 的中點，連接 并延長交 的延長線于點 ，則圖中的全等三角形共有（）.
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
【答案】A
【解析】解：由矩形 可知 ,
為 的中點，
，
在 和 中，
, ， ，
，
，
由矩形 得 ，
，
由 ， ， 可得：
，
由矩形 得：
， ，
在 和 中，
， ， ，
，
綜上可知圖中全等的三角形共有 對.
故正確答案是： 對.
6、 在 中， ， 是邊 上一點， 交 于點 ， 交 于點 ，若要使四邊形 是菱形，只需添加條件( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：只需添加
，
四邊形 是平行四邊形
四邊形 是菱形
故正確答案是：
7、過矩形 的四個頂點作對角線 、 的平行線分?交于 、 、 、 四點，則四邊形 是（ ).
A. 平行四邊形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】C
【解析】解：
由題意知， ， ，
四邊形 是平行四邊形，
.
四邊形 為矩形，矩形的對角線相等，
，
，
平行四邊形 是菱形.
故答案為：菱形.
8、下列命題中，真命題是（ ）
A. 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B. 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 兩條對角線相等的四邊形是矩形
【答案】A
【解析】解：兩條對角線相等且互相平分的四邊形才是矩形，該選項命題錯誤；
兩條對角線互相垂直且平分的四邊形才是菱形，該選項命題錯誤；
兩條對角線互相垂直且相等且互相平分的四邊形是才正方形，該選項命題錯誤；
兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，該命題正確.
故答案為：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
9、用兩個完全相同的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等邊三角形，一定能拼成的圖形是
A. ①②④
B. ①②③
C. ①②⑤
D. ①④⑤
【答案】A
【解析】如圖，用兩個完全相同的直角三角形首先可以拼成平行四邊形、矩形和等腰三角形
因為該直角三角形不一定有60°內(nèi)角，所以不一定能拼成等邊三角形，因為該直角三角形不一定有兩條邊相等，所以不一定能拼成菱形，故一定能拼成的只有平行四邊形、矩形和等腰三角形
故①②④正確
10、設 、 表示兩個集合，我們規(guī)定“ ”表示 與 的公共部分，并稱之為 與 的交集．例如：若 正數(shù) ， 整數(shù) ，則 正整數(shù) ．若 矩形 ， 菱形 ，則所對應的集合 是（ �。�
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四邊形
【答案】A
【解析】解： “ ”表示 與 的公共部分，
矩形 ， 菱形 ，
則既是矩形又是菱形的為正方形，則
正方形 ．
11、如圖所示，已知四邊形 的對角線 、 相交于點 ，則下列能判斷它是正方形的條件是（ �。�
A. ，
B. ， ，
C.
D. ，
【答案】D
【解析】解： 且AC、BD互相平分可判定為菱形，再由AC=BD判定為正方形．
12、如圖，在 中， ， ， ， 為邊 上一動點， 于 ， 于 ， 為 的中點，則 的最小值為（ �。�
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：連結 ，如圖所示：
， ， ，
，
， ，
四邊形 是矩形，
．
是 的中點，
，
根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，
即 時， 最短，同樣 也最短，
當 時， ，
最短時， ，
當 最短時， ．
13、如圖，四邊形 的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（ �。�
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：可添加 ，
四邊形 的對角線互相平分，
四邊形 是平行四邊形，
，根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，
四邊形 是矩形，
14、如圖，已知四邊形 的四邊都相等，等邊 的頂點 、 分別在 、 上，且 ，則 （ �。�
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解： 四邊形 的四邊都相等，
四邊形 是菱形，
， ， ，
，
是等邊三角形， ，
， ，
， ，
由三角形的內(nèi)角和定理得： ，
設 ，則 ，
，
，
解得： ，
．
15、如圖所示，設 表示平行四邊形， 表示矩形， 表示菱形， 表示正方形，則下列四個圖形中，能表示它們之間關系的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解： 四個邊都相等的矩形是正方形，有一個角是直角的菱形是正方形，
正方形應是N的一部分，也是 的一部分，
矩形形、正方形、菱形都屬于平行四邊形，
它們之間的關系是： ．
二、填空題（本大題共有5小題，每小題5分，共25分）
16、邊長為 的正方形，對角線的長為______ .
【答案】
【解析】解：如圖所示：
四邊形 是正方形，
， .
在直角 中， ，
由勾股定理得： .
故答案為： .
17、有一組 相等的 四邊形是菱形.
【答案】鄰邊；平行
【解析】解：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
故正確答案是：鄰邊；平行.
18、1.正方形的定義
有一組鄰邊 且一個角是 的平行四邊形叫做正方形。
【答案】相等，直角
【解析】解:有一組鄰邊相等且一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
故答案是,相等,直角.
19、如果菱形的兩對角線分別為 和 ，則它的面積是 ．
【答案】10
【解析】解：棱形的對角線互相垂直，則它的面積
20、如圖，在矩形 中， ，點 和點 分別從點 和點 出發(fā)，按逆時針方向沿矩形 的邊運動，點 和點 的速度分別為 和 ，則最快 后，四邊形 成為矩形．
【答案】4
【解析】解：設最快 秒， 是矩形， ，
要使 是矩形，則 ，
得 ．
解得 ．
三、解答題（本大題共有3小題，每小題10分，共30分）
21、如圖，在正方形 中，已知 是對角線 上一點，連接 、 ，延長 到 ，使 .求證： .
【解析】證明：
正方形 中， ， .
，
.
22、在平行四邊形 中，過點 作 于點 ，點 在邊 上， ，連接 ．
(1) 求證：四邊形 是矩形；
【解析】證明：
四邊形 是平行四邊形，
．
，
四邊形 是平行四邊形．
，
，
四邊形 是矩形．
(2) 若 ，求證： 平分 ．
【解析】解：
四邊形 是平行四邊形，
，
．
在 中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即 平分 ．
23、如圖，在 中， ， 的垂直平分線 交 于 ，交 于 ， 在 上，并且 ．
(1) 求證：四邊形 是平行四邊形．
【解析】解： 是 的垂直平分線，
， ，
，
與 互余， 與 互余
，
，
又 ，
和 都是等腰三角形，
，
，
在 和 中
，
（ ），
四邊形 是平行四邊形．
(2) 求證：四邊形 是平行四邊形．
【解析】解： 是 的垂直平分線，
， ，
，
，
，
，
與 互余， 與 互余
，
，
又 ，
和 都是等腰三角形，
，
，
在 和 中
，
（ ），
四邊形 是平行四邊形．
(3) 當 滿足什么條件時，四邊形 是菱形？請回答并證明你的結論．
【解析】解：當 時，四邊形 是菱形．
證明如下：
，
，
，
平行四邊形 是菱形．
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