期中檢測題
（本檢測題滿分：120分，時間：120分鐘）
一、選擇題（每小題2分，共24分）
1.（2013•蘭州中考）二次函數(shù) 的圖象的頂點坐標(biāo)是（    ）
A.（1，3）  B.（ 1，3）  C.（1， 3）  D.（ 1， 3）
2.（2013•哈爾濱中考）把拋物線 向下平移2個單位，再向右平移1個單位，所得到的拋物線是（    ）
A.   B.   C.   D.
3.（2013•吉林中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線所表示的函數(shù)解析式為  ,則下列結(jié)論正確的是（    ）
A.    B. ＜0, ＞0
C. ＜0, ＜0   D. ＞0, ＜0

4. （2013•河南中考）在二次函數(shù) 的圖象上，若 隨 的增大而增大，則 的取值范圍是（    ）
A. 1    B. 1        C. -1    D. -1
5. 已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正確結(jié)論的個數(shù)是（    ）
A.2          B.3             C.4             D. 5
6.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù) 和函數(shù) （ 是常數(shù)，且 ）的圖象可能是（    ）
 

7.（2014•天津中考）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，且關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m=0沒有實數(shù)根，有下列結(jié)論：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（  ）
A.0          B.1         C.2          D.3
8.（2014•蘇州中考）二次函數(shù)y＝ax2＋bx－1(a≠0)的圖象經(jīng)過點(1，1)，則代數(shù)式
1－a－b的值為（   ）
   A．－3       B．－1    C．2   D．5
9.（2014•蘭州中考）拋物線y= 的對稱軸是（  ）
A.y軸       B.直線x=-1        C.直線x=1       D.直線x=-3
10.（2014•蘭州中考）把拋物線y= 先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后，所得函數(shù)的表達(dá)式為（  ）
A.             B. 
C.             D. 
11.拋物線 的部分圖象如圖所示，若 ，則 的取值范圍是（     ）                                      
A.                   B.    
   C. 或                D. 或 

12.（2014•蘭州中考）二次函數(shù)y= （a≠0）的圖象如圖所示，其對稱軸為x=1.下列結(jié)論中錯誤的是（   ）
A.abc＜0        B.2a＋b=0      C.b2-4ac＞0     D.a-b＋c＞0
二、填空題（每小題3分，共18分）
13.已知二次函數(shù) 的圖象頂點在 軸上，則           .  
14.二次函數(shù) 的最小值是____________.                  
15.（2014•南京中考）已知二次函數(shù) 中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：
x ... -1 0  1 2 3 ...
y ... 10 5 2 1 2 ...

則當(dāng) 時，x的取值范圍是_____.
16.（2014•天津中考）拋物線y＝x2－2x＋3的頂點坐標(biāo)是      .
17. （2014•廣州中考） 若關(guān)于 的方程 有兩個實數(shù)根 ，則 的最小值為      .
18.（2013• 成都中考）在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 為任意常數(shù)）與拋物線  交于 兩點，且 點在 軸左側(cè)， 點的坐標(biāo)為（0,－4），連接 , .有以下說法：
① ；②當(dāng) 時， 的值隨 的增大而增大；
③當(dāng) － 時， ；④△ 面積的最小值為4 ，其中正確的是          .（寫出所有正確說法的序號）
三、解答題（共78分）
19.（8分）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為 ，且經(jīng)過點 ，求此二次函數(shù)的解析式．
20.（8分）已知二次函數(shù) .
（1）求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及對稱軸.
（2）求此拋物線與 軸的交點坐標(biāo).
21.（8分）已知拋物線 的部分圖象如圖所示.
（1）求 的值；
（2）分別求出拋物線的對稱軸和 的最大值；
（3）寫出當(dāng) 時， 的取值范圍.
22.（8分）（2014•南京中考）已知二次函數(shù) （m是常數(shù)）.
(1)求證：不論 為何值，該函數(shù)的圖象與 軸沒有公共點；
(2)把該函數(shù)的圖象沿 軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與 軸只有一個公共點？
23.（10分）某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內(nèi)，
銷售量 （千克）隨銷售單價 （元/千克）的變化而變化，具體關(guān)系式為 ，且物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克．設(shè)這種綠茶在這段時間內(nèi)的銷售利潤為 （元），解答下列問題：
（1）求 與 的關(guān)系式.
（2）當(dāng) 取何值時， 的值最大？
（3）如果公司想要在這段時間內(nèi)獲得 元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？
24.（10分）拋物線 交 軸于 ， 兩點，交 軸于點 ,已知 拋物線的對稱軸為 ， , .
     ⑴求二次函數(shù) 的解析式；
⑵在拋物線的對稱軸上是否存在一點 ，使點 到 ， 兩點距離之差最大？若存在，求出 點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
 ⑶平行于 軸的一條直線交拋物線于 兩點，若以 為直徑的圓恰好與 軸相切，求此圓的半徑．
25.（12分）（2014•蘇州中考）如圖，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a，m是常數(shù)
且a>0，m>0的圖象與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于
點C(0，－ 3)，點D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD．過點A作射線AE
交二次函數(shù)的圖象于點E，AB平分∠DAE．
(1)用含m的代數(shù)式表示a；
(2)求證： 為定值；
(3)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．       

         第25題圖
 26.（14分）（2013•哈爾濱中考）某水渠的橫截面呈拋物線形， 水面的寬為 （單位：米），現(xiàn)以 所在直線為 軸，以拋物線的對稱軸為 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)坐標(biāo)原點為 .已知 米，設(shè)拋物線解析式為 .
（1）求 的值；
（2）點 是拋物線上一點，點 關(guān)于原點 的對稱點為點 ，連接 ，求△ 的面積.
 
期中檢測題參考答案
1.A  解析：因為 的圖象的頂點坐標(biāo)為 ,
所以 的圖象的頂點坐標(biāo)為（1，3）.
2.D   解析：把拋物線 向下平移2個單位，
所得到的拋物線是 ，再向右平移1個單位，
所得到的拋物線是 .
點撥：拋物線的平移規(guī)律是左加右減，上加下減.
3.A  解析：∵ 圖中拋物線所表示的函數(shù)解析式為 ,
∴ 這條拋物線的頂點坐標(biāo)為 .
觀察函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)它的頂點在第一象限，
∴  .
4.A  解析：把 配方，得 .
∵ -1 0,∴ 二次函數(shù)圖象的開口向下.又圖象的對稱軸是直線 ,
∴ 當(dāng) 1時， 隨 的增大而增大.
5.B  解析 :對于二次函數(shù) ，由圖象知：當(dāng) 時， ，所以①正確;
由圖象可以看出拋物線與 軸有兩個交點，所以 ，所以②正確；
因為圖象開口向下，對稱軸是直線 ，
所以 ，所以 ，所以③錯誤;
當(dāng) 時， ，所 以④錯誤;
由圖象知 ，所以 ，所以⑤正確，
故正確結(jié)論的個數(shù)為3.
6.D  解析:選項A中，直線的斜率 ，而拋物線開口朝下，則 ，得 ，前后矛盾，故排除A選項;選項C中，直線的斜率 ，而拋物線開口朝上，則 ，得 ，前后矛盾，故排除C選項;B、D兩選項的不同處在于，拋物線頂點的橫坐標(biāo)一正一負(fù).兩選項中，直線斜率 ，則拋物線頂點的橫坐標(biāo)  ，故拋物線的頂點應(yīng)該在 軸左邊，故選項D正確.
7.D  解析: ∵ 拋物 線與 軸有兩個交點，∴ 方程 有兩個不相等的實數(shù)根，
∴  ，①正確.∵拋物線的開口向下，∴  .又∵拋物線的對稱軸是直線 ， ，∴ .∵ 拋物線與 軸交于正半軸，∴ ，∴ ，②正確.方程 的根是拋物線 與直線 交點的橫坐標(biāo)，當(dāng) 時，拋物線 與直線 沒有交點，此時方程 沒有實數(shù)根，③正確，∴ 正確的結(jié)論有3個.
8.B  解析：把點（1,1）代入 ,得
9.C  解析:由二次函數(shù)的表達(dá)式可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,-3)，所以拋物線的對稱軸是直線x=1.
10.C  解析：拋物線y= 向右平移1個單位長度后，所得函數(shù)的表達(dá)式為 ，拋物線 向上平移2個單位長度后，所得函數(shù)的表達(dá)式為 .
11.B  解析：∵ 拋物線的對稱軸為 ，而拋物線與 軸的一個交點的橫坐標(biāo)為1，
∴ 拋物線與 軸的另一個交點的橫坐標(biāo)為 ，
根據(jù)圖象知道若 ，則 ，故選B．
12.D  解析：∵二次函數(shù)的圖象的開口向下，∴ a<0.
∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點在y軸的正半 軸上，∴ c>0.
∵二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1，∴ ，∴ b>0，
∴ ，∴選項A正確.
∵ ，∴ ，即 ，∴選項B正確.
∵二次函數(shù)的圖象與x軸有2個交點，∴方程 有兩個不相等的實數(shù)根，∴ b2-4ac＞0，∴選項C正確.
∵當(dāng) 時，y=a-b+c＜0，∴選項D錯誤.
13.2  解析：根據(jù)題意，得 ，將 ， ， 代入，得 ，解得 ．
14.3  解析:當(dāng) 時， 取得最小值3.
15. 0＜x＜4   解析: 根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性確定出該二次函數(shù)圖象的對稱軸，然后解答即可.
∵ x=1和x=3時的函數(shù)值都是2，
∴ 二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2.由表可知，當(dāng)x=0時，y=5，
∴ 當(dāng)x=4時，y=5.由表格中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x=2時，函數(shù)有最小值1,
∴ a＞0，∴ 當(dāng)y＜5時，x的取值范圍是0＜x＜4.
16.（1，2）  解析：拋物線 的頂點坐標(biāo)是 .把拋物線解析式 化為頂點式得 ，所以它的頂點坐標(biāo)是（1，2）.
17.    解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得到：
 ，
∴ = 
 
 
 .
∵方程有兩個實數(shù)根，
∴Δ ，解得 ．
∴ 的最小值為 符合題意．

18. ③④  解析：本題綜合考查了二次函數(shù)與方程和方程組的綜合應(yīng)用.
設(shè)點A的坐標(biāo)為（ , ）,點B的坐標(biāo)為（ ）.
不妨設(shè) ,解方程組 得 ∴  .
此時 , ,∴  .而 =16,∴  ≠ ,
∴ 結(jié)論①錯誤.
當(dāng) = 時，求出A(-1,- ),B（6,10）, 
此時 ( )(2 )=16.
由① 時， ( )( )=16.
比較兩個結(jié)果發(fā)現(xiàn) 的值相等.∴ 結(jié)論②錯誤.
當(dāng) - 時，解方程組 得出A（-2 ，2）,B（ ，-1）,
求出 12, 2, 6,∴  ,即結(jié)論③正確.
把方程組 消去y得方程 ,∴  , .
∵  = •| | OP•| |= ×4×| |
=2 =2 ,
∴ 當(dāng) 時， 有最小值4 ，即結(jié)論④正確.
19.分析:因為拋物線的頂點坐標(biāo)為 ，所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為 ，把點（2，3）代入解析式即可解答．
解：已知拋物線的頂點坐標(biāo)為 ，
所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為 ，
把點（2，3）代入解析式，得 ，即 ，
所以此函數(shù)的解析式為 ．
20.分析：（1）首先把已知函數(shù)解析式配方，然后利用拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸的公式即可求解；（2）根據(jù)拋物線與 軸交點坐標(biāo)的特點和函數(shù)解析式即可求解．
解：（1）∵  ，
∴ 頂點坐標(biāo)為（1，8），對稱軸為直線 .  （2）令 ，則 ，解得 ， ．
∴ 拋物線與 軸的交點坐標(biāo)為（ ），（ ）．
21.解：（1）由圖象知此二次函數(shù)過點（1，0），（0，3），
將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
 解得  （2）由（1）得函數(shù)解析式為 ，
即為 ，
所以拋物線的對稱軸為 的最大值為4.
（3）當(dāng) 時，由 ，解得 ，
即函數(shù)圖象與 軸的交點坐標(biāo)為（ ），（1，0）.
所以當(dāng) 時， 的取值范圍為 ．
22.（1）證法一：因為（?2m）2?4（m2+3）= ?12＜0，
所以方程x2?2mx+m2+3=0沒有實數(shù)根，
所以不論 為何值，函數(shù) 的圖象與x軸沒有公共點.
證法二：因為 ，所以該函數(shù)的圖象開口向上.
又因為 ，
所以該函數(shù)的圖象在 軸的上方.
所以不論 為何值，該函數(shù)的圖象與 軸沒有公共點.
（2）解： ，
把函數(shù) 的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到函數(shù) 的圖象，它的頂點坐標(biāo)是（m，0），
因此，這個函數(shù)的圖象與 軸只有一個公共點. 
所以把函數(shù) 的圖象沿 軸向下平移3個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與 軸只有一個公共點．
23.分析：（1）因為 ，
故 與 的關(guān)系式為 ．
（2）用配方法化簡函數(shù)式，從而可得 的值最大時所對應(yīng)的
（3）令  ，求出 的值即可．
解：（1） ，
∴  與 的關(guān)系式為 ．
（2） ，
∴ 當(dāng) 時， 的值最大．
（3）當(dāng) 時，可得方程 .
解這個方程，得 .
根據(jù)題意， 不合題意，應(yīng)舍去.
∴ 當(dāng)銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2 250元．
24.解：（1）將 代入 ，得 ．
將 ， 代入 ，得  ．
∵ 是對稱軸，∴ ．
由此可得 ， ．∴二次函數(shù)的解析式是 ．
（2） 與對稱軸的交點 即為到 兩點距離之差最大的點．
∵  點的坐標(biāo)為 ， 點的坐標(biāo)為 ，
∴ 直線 的解析式是 .又對稱軸為 ，∴ 點 的坐標(biāo)為 ． 
（3）設(shè) 、 ，所求圓的半徑為 ，則  .           
∵ 對稱軸為 ，∴  ．∴  ．
將 代入解析式 ，得 ，
整理得 ．
由于 ，當(dāng) 時， ，解得 ， （舍去）；當(dāng) 時， ，解得 ， （舍去）．
∴ 圓的半徑是 或 
25.（1）解：將C（0，－3）代入二次函數(shù)y=a（x2－2mx－3m2），
則－3=a（0－0－3m2），
解得 a= .
（2）證明：如圖，
過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．
由a（x2－2mx－3m2）=0，
解得 x1=－m，x2=3m，
∴ A（－m，0），B（3m，0）．
∵ CD∥AB，
∴ 點D的坐標(biāo)為（2m，－3）．
∵ AB平分∠DAE，
∴∠DAM=∠EAN.
∵ ∠DMA=∠ENA=90°，
∴ △ADM∽△AEN．
∴ .
設(shè)點E的坐標(biāo)為  ，                      第25題答圖
∴ = ，
∴ x=4m，∴ E（4m，5）.
∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
 ∴  ，即為定值．
（3）解：如圖所示，
記二次函數(shù)圖象的頂點為點F，則點F的坐標(biāo)為（m，－4），
過點F作FH⊥x軸 于點H．
連接FC并延長，與x軸負(fù)半軸交于一點，此點即為所求的點G．
∵ tan∠CGO= ，tan∠FGH= ，∴ = ，
∴ OG=3m．
此時，GF= = =4 ，
AD= = =3 ，∴ = ．
由（2）得 = ，∴ AD?GF?AE=3?4?5，
∴ 以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時點G 的橫坐標(biāo)為 3m．
26.分析：（1）求出點A或點B的坐標(biāo)，將其代入 ， 即可求出a的值；
（2）把點 代入（1）中所求的拋物線的解析式中，求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)點C和點D關(guān)于原點O對稱，求出點D的坐標(biāo)，然后利用 求△BCD的面積.
解：（1）∵  ,由拋物線的對稱性可知 ,
∴  （4,0）.∴ 0＝16a-4.
∴ a .
（2）如圖所示，過點C作 于點E，過點D作 于點F.
∵ a= ,∴  -4.當(dāng) -1時，m= × -4=- ,∴ C（-1,- ）.
∵ 點C關(guān)于原點O的對稱點為點D，∴ D（1, ）.∴  .
∴  ×4× + ×4× =15.
∴ △BCD的面積為15平方米.
點撥：在直角坐標(biāo)系中求圖形的面積，常利用“割補(bǔ)法”將其轉(zhuǎn)化為有一邊在坐標(biāo)軸上的圖形面積的和或差求解.
 

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