在數(shù)學(xué)中，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線，下面是數(shù)學(xué)網(wǎng)整理的雙曲線同步檢測，請考生及時練習(xí)。
一、選擇題
1.(2013南昌模擬)已知雙曲線mx2-ny2=1(m0)的離心率為2,則橢圓mx2+ny2=1的離心率為()
(A)1 (B) 1/2(C)2 (D)1/3
2.雙曲線-y2=1(n1)的左、右兩個焦點為F1,F2,P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2,則△PF1F2的面積為()
(A) (B)1 (C)2 (D)4
3.(2013榆林模擬)已知雙曲線-=1(a0，b0)的兩條漸近線均與圓C:x2+y2-6x+5=0相切，則該雙曲線離心率等于()
(A) 1/2(B) 2(C)1/4 (D)1/5
4.已知雙曲線-=1(a0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
5.設(shè)雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為()
(A) 1/2(B)1 (C)1/3 (D)2
6.(2016新課標(biāo)全國卷)等軸雙曲線C的中心在原點,焦點在x軸上,C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點,|AB|=4,則C的實軸長為()
(A) 3(B)2 (C)4 (D)8
7.(2013咸陽模擬)已知雙曲線-=1(a0)的一個頂點與拋物線y2=20x的焦點重合,該雙曲線的離心率為,則該雙曲線的漸近線斜率為()
(A)2 (B) (C) (D)
8.設(shè)F1,F2分別是雙曲線-y2=1的左、右焦點,P在雙曲線上,當(dāng)△F1PF2的面積為2時,的值為()
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
二、填空題
9.(2013西安模擬)若橢圓+=1(a0)的離心率為,則雙曲線-=1的離心率為.
10.(2016天津高考)已知雙曲線C1:-=1(a0)與雙曲線C2:-=1有相同的漸近線,且C1的右焦點為F(,0),則a= ,b= .
11.(能力挑戰(zhàn)題)過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線,交雙曲線于A,B兩點,設(shè)雙曲線的左頂點為M,若點M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,則此雙曲線的離心率e的取值范圍為 .
三、解答題
12.(2016井岡山模擬)已知A,B,P是雙曲線-=1上不同的三點,且A,B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點,若直線PA,PB的斜率乘積kPAkPB=,求雙曲線的離心率.
13.(2016安康模擬)已知定點A(1，0)和定直線x=-1上的兩個動點E，F(xiàn)，滿足，動點P滿足∥，∥(其中O為坐標(biāo)原點).
(1)求動點P的軌跡C的方程.
(2)過點B(0，2)的直線l與(1)中軌跡C相交于兩個不同的點M，N，若0，求直線l的斜率的取值范圍.
14.P(x0,y0)(x0a)是雙曲線E:-=1(a0)上一點,M,N分別是雙曲線E的左,右頂點,直線PM,PN的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率.
(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,C為雙曲線上一點,滿足=+,求的值.
答案解析
1.【解析】選B.由已知雙曲線的離心率為2,得:
=2,解得:m=3n,又m0,
mn,即,
故由橢圓mx2+ny2=1得+=1.
所求橢圓的離心率為:e===.
【誤區(qū)警示】本題極易造成誤選而失分,根本原因是由于將橢圓mx2+ny2=1焦點所在位置弄錯,從而把a求錯造成.
2.【解析】選B.不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上,則
|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=2,
|PF1|=+,|PF2|=-,
又c=,
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,F1PF2=90,
=|PF1||PF2|=1.
3.【解析】選A.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4，所以圓心坐標(biāo)為C(3，0)，半徑r=2，雙曲線的漸近線為y=x，不妨取y=x，即bx-ay=0，因為漸近線與圓相切，所以圓心到直線的距離d==2，
即9b2=4(a2+b2)，所以5b2=4a2，
b2=a2=c2-a2，即a2=c2，所以e2=，e=，選A.
4.【解析】選B.由題意可知解得所以雙曲線的方程為-=1.
5.【解析】選D.因為焦點在x軸上與焦點在y軸上的離心率一樣,所以不妨設(shè)雙曲線方程為-=1(a0),則雙曲線的漸近線的斜率k=,一個焦點坐標(biāo)為F(c,0),一個虛軸的端點為B(0,b),所以kFB=-,又因為直線FB與雙曲線的一條漸近線垂直,所以kkFB=(-)=-1(k=-顯然不符合),
即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,
即e2-e-1=0,解得e=(負(fù)值舍去).
【變式備選】雙曲線-=1(a0)的離心率為2,則的最小值為()
(A) (B) (C)2 (D)1
【解析】選A.因為雙曲線的離心率為2,所以=2,
即c=2a,c2=4a2;
又因為c2=a2+b2,
所以a2+b2=4a2,即b=a,
因此==a+2=,當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=時等號成立.
故的最小值為.
6.【解析】選C.不妨設(shè)點A的縱坐標(biāo)大于零.
設(shè)C:-=1(a0),
∵拋物線y2=16x的準(zhǔn)線為x=-4,
聯(lián)立得方程組
解得:A(-4,),B(-4,-),
|AB|=2=4,解得a=2,2a=4.
C的實軸長為4.
7.【解析】選C.由拋物線y2=20x的焦點坐標(biāo)為(5,0),可得雙曲線-=1的一個頂點坐標(biāo)為(5,0),
即得a=5,又由e===,解得c=.
則b2=c2-a2=,即b=,由此可得雙曲線的漸近線的斜率為k==.
8.【解析】選B.設(shè)點P(x0,y0),依題意得,
|F1F2|=2=4,
=|F1F2||y0|=2|y0|=2,|y0|=1,又-=1,=3(+1)=6,
=(-2-x0,-y0)(2-x0,-y0)
=+-4=3.
9.【解析】由已知橢圓離心率為,
所以有==,得()2=,而雙曲線的離心率為===.
答案:
10.【解析】由題意可得解得:a=1,b=2.
答案:1 2
11.【思路點撥】設(shè)出雙曲線方程,表示出點F,A,B的坐標(biāo),由點M在圓內(nèi)部列不等式求解.
【解析】設(shè)雙曲線的方程為-=1(a0),右焦點F坐標(biāo)為F(c,0),令A(yù)(c,),B(c,-),
所以以AB為直徑的圓的方程為(x-c)2+y2=.
又點M(-a,0)在圓的內(nèi)部,所以有(-a-c)2+0,
即a+ca2+ac0(e=),解得:e2或e-1.
又e1,e2.
答案:(2,+)
12.【解析】設(shè)A(m,n),P(x0,y0),則B(-m,-n),
∵A,B,P在雙曲線上,
-=1,(1)
-=1,(2)
(2)-(1)得:==,
kPAkPB====e====.
13.【解析】(1)設(shè)P(x，y)，E(-1，y1)，F(xiàn)(-1，y2)(y1，y2均不為0).
由∥得y1=y，即E(-1，y)，
由∥得y2=-，即F(-1，-)，
由得=0(-2，y1)(-2，y2)=0y1y2=-4y2=4x(x0)，
動點P的軌跡C的方程為y2=4x(x0).
(2)由已知知直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2(k0)，M(，y1)，
N(，y2)，
聯(lián)立得消去x得ky2-4y+8=0，
y1+y2=，y1y2=，
且=16-32k0，即k，
=(-1，y1)(-1，y2)
=(-1)(-1)+y1y2
=-(+)+y1y2+1
=-(-)++1=.
∵0，-12
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