經(jīng)濟(jì)上有危機(jī)，歷史上數(shù)學(xué)也有三次危機(jī)。第一次危機(jī)發(fā)生在公元前580～568年之間的古希臘，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派集宗教、科學(xué)和哲學(xué)于一體，該學(xué)派人數(shù)固定，知識(shí)保密，所有發(fā)明創(chuàng)造都?xì)w于學(xué)派領(lǐng)袖。當(dāng)時(shí)人們對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)還很有限，對(duì)于無(wú)理數(shù)的概念更是一無(wú)所知，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō)的數(shù)，原來(lái)是指整數(shù)，他們不把分?jǐn)?shù)看成一種數(shù)，而僅看作兩個(gè)整數(shù)之比，他們錯(cuò)誤地認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。該學(xué)派的成員希伯索斯根據(jù)勾股定理（西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）通過(guò)邏輯推理發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為l的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比所能表示。希伯索斯的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是“荒謬”和違反常識(shí)的事。它不僅嚴(yán)重地違背了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，也沖擊了當(dāng)時(shí)希臘人的傳統(tǒng)見(jiàn)解。使當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發(fā)現(xiàn)被投入海中淹死，這就是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。這場(chǎng)危機(jī)通過(guò)在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決。兩個(gè)幾何線段，如果存在一個(gè)第三線段能同時(shí)量盡它們，就稱這兩個(gè)線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對(duì)角線，就不存在能同時(shí)量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不再受整數(shù)的限制，所謂的數(shù)學(xué)危機(jī)也就不復(fù)存在了。不可通約量的研究開(kāi)始于公元前4世紀(jì)的歐多克斯，其成果被歐幾里得所吸收，部分被收人他的《幾何原本》中。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問(wèn)題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。微積分的形成給數(shù)學(xué)界帶來(lái)革命性變化，在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，但微積分在理論上存在矛盾的地方。無(wú)窮小量是微積分的基礎(chǔ)概念之一。微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過(guò)程中，第一步用了無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法，當(dāng)然無(wú)窮小量不能為零；第二步牛頓又把無(wú)窮小量看作零，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式，在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程卻在邏輯上自相矛盾。焦點(diǎn)是：無(wú)窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數(shù)？如果不是零，又怎么能把包含著無(wú)窮小量的那些項(xiàng)去掉呢？直到19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論�？挛髡J(rèn)為把無(wú)窮小量作為確定的量，即使是零，都說(shuō)不過(guò)去，它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾。無(wú)窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無(wú)窮小的概念，而且把無(wú)窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來(lái)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決。

　　第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決使微積分更完善。

　　第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，發(fā)生在十九世紀(jì)末。當(dāng)時(shí)英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素把集合分成兩種。

　　第一種集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二種集合：集合本身是它的一個(gè)元素A∈A，例如一切集合所組成的集合。那么對(duì)于任何一個(gè)集合B，不是第一種集合就是第二種集合。

　　假設(shè)第一種集合的全體構(gòu)成一個(gè)集合M，那么M屬于第一種集合還是屬于第二種集合。

　　如果M屬于第一種集合，那么M應(yīng)該是M的一個(gè)元素，即M∈M，但是滿足M∈M關(guān)系的集合應(yīng)屬于第二種集合，出現(xiàn)矛盾。

　　如果M屬于第二種集合，那么M應(yīng)該是滿足M∈M的關(guān)系，這樣M又是屬于第一種集合矛盾。

　　以上推理過(guò)程所形成的俘論叫羅素悖論。由于嚴(yán)格的極限理論的建立，數(shù)學(xué)上的第一次第二次危機(jī)已經(jīng)解決，但極限理論是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的，而實(shí)數(shù)理論又是以集合論為基礎(chǔ)的，現(xiàn)在集合論又出現(xiàn)了羅素悖論，因而形成了數(shù)學(xué)史上更大的危機(jī)。從此，數(shù)學(xué)家們就開(kāi)始為這場(chǎng)危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進(jìn)行這個(gè)工作的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過(guò)德國(guó)的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)。即所謂ZF公理系統(tǒng)。這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來(lái)。數(shù)學(xué)危機(jī)給數(shù)學(xué)發(fā)展帶來(lái)了新的動(dòng)力。在這場(chǎng)危機(jī)中集合論得到較快的發(fā)展，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的進(jìn)步更快，數(shù)理邏輯也更加成熟。然而，矛盾和人們意想不到的事仍然不斷出現(xiàn)，而且今后仍然會(huì)這樣�！�

參考資料

　　丁爾升主編《中學(xué)百科全書?數(shù)學(xué)卷》有關(guān)條目，北京師大出版社等1994年。

　　　

　　選自《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2001年2月上

 

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