Blockvotia的國民議會剛統(tǒng)計完了對Palmgreasing Slushfund議案的投票情況，總統(tǒng)Freebie Perks滿臉的不高興。他的私人秘書Penelope Poundpincher施展渾身解數(shù)拼命安慰他。
“Penny,你曾告訴我6個地區(qū)中有4個地區(qū)（包括最大的那個地區(qū)）支持此議案。那我們怎么輸了呢？”
“這是由于加權(quán)投票制度的緣故，先生。你知道，每個地區(qū)孝分配了與其人口數(shù)大致成比例的一定票數(shù)。這是說明詳細(xì)分配情況的一張表（見圖1）。總的票數(shù)為31。因此，任何一個擁有16張票（即比總票數(shù)的一半多一張票）的聯(lián)盟將能夠左右選舉的結(jié)果。
Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群島對議案投了贊成票。我已經(jīng)說過，這正好是6個地區(qū)中的4個，而且包括了最大的一個。且它們合起來僅有15票，而反對議案的兩個地區(qū)卻有16票�！�
“總統(tǒng)選舉下個月就要進(jìn)行，我不希望這一情況重演。如果我們讓邊界委員會給Sheepshire加一票，而使Candlewick減一票——”
Penny把頭搖得像撥浪鼓�！拔也恢鲝堖@樣做，先生。Richfolk和Candkewick這兩個區(qū)都贊成你連任。Sheepshire猶豫不決，而另外三個地區(qū)則反對你連任。Richfolk和Candlewick可以挫敗另外4個區(qū)組成的聯(lián)盟，但如果你從這兩個區(qū)中任一個區(qū)減去一票的話，那情況就不同了。”
這時有人敲門。Porkney群島的代表Charlie Hogg沖了進(jìn)來�！翱偨y(tǒng)先生，這場滑稽戲不能再繼續(xù)演下去了！”
“什么滑稽戲？”
“你所謂的民主投票制度，Porkney群島毫無權(quán)力。
“但你們擁有一票，這是與你們的人口成比例的。Slurrey的人口比你們還多，也只有一票。你們擁有的權(quán)力實際上比Slurrey還多�！�
“不對。任何投票的結(jié)果都完全被三個最大的地區(qū)所左右。這三個地區(qū)至少有兩個將投相同的票，而它們合起來的票數(shù)至少同Richfolk和Candlewick（分別是第二大和第三大的地區(qū)）擁有的總票數(shù)一樣多。這就有了16票，居于多數(shù)地位。在任何一次投票中，即使3個最小的地區(qū)一票也不投，也會得到相同的結(jié)果！”
“我明白了。但我能把它怎么樣呢？”
“再給我們一票！這樣至少3個最小的地區(qū)就可以同Sheepshire聯(lián)合起來打出一個平局。如果你再給Slurrey也加一票，那么我們就可以結(jié)成一個獲勝的聯(lián)盟了（見圖1）�！�
“我明白你的意思。這樣總票數(shù)就是33”，Penny說�！斑@樣有17票或17票以上就可以得勝。Fiddlesex,Slurrey,Porkney群島和Sheepshire結(jié)成聯(lián)盟，能夠贏得投票�！�
“不錯！三個最小的地區(qū)中的任何一個才能夠改變投票的結(jié)果——它們將擁有力量均勢！”
這時邊界委員會的聯(lián)絡(luò)官Gerry Mander走了進(jìn)來。Perks問他：“Gerry，邊界委員會能否重新劃定各區(qū)的邊界，使Slurrey和Porkney群島各多得一票？”
Cerry Mander搖了搖頭�！癝lurrey區(qū)還可想點辦法。但Porkney是群島就不好辦了。”
Hogg咆哮起來：“我的選民們會不高興的�！�
總統(tǒng)嘰咕著說：“是會不高興。不過，正如你說的那樣，這沒有什么用，因為你的地區(qū)毫無權(quán)力。我看你最好不要發(fā)出無法兌現(xiàn)的威脅，Hogg�！�
“單是三個選區(qū)就可以把你趕下臺，這種情況也不會使你感到舒服。你必定能夠想點什么辦法。”
“我可以再給Sheepshire兩票。能辦到嗎，Gerry？”
“沒問題。區(qū)界沿著Wastedump河彎彎曲曲地延伸。我們很容易把它改合理一些。”。
“但是給最大的地區(qū)再加幾票不可能幫助最小的地區(qū)獲得一份權(quán)力呀！”Hogg傷心地叫道。
Perks說：“恰恰相反，如果Sheepshire再多兩票的話，你就會得到一份權(quán)力（見圖1的右圖）。”
“不錯”，Penny邊說邊看著這些數(shù)字，“這同一個聯(lián)盟共擁有33票中的17票；依然是最小的三個地區(qū)中的每一個都可以聲稱自己掌握著力量均勢。”
“這真是妙極了”，Hogg說，“你給了Sheepshire更多的權(quán)力，其中部分權(quán)力卻鬼使神差般地影響到我們�！�
“不，Hogg。我們并沒有給Sheepshire更多的權(quán)力——我們只是給他們更多的選票”，Penny吸了一口氣說，“正如你說的那樣，權(quán)力和選票并不是一回事�！�
“怎么會是這樣？”Perks問道，“如果權(quán)力不是選票，那它是什么？我需要知道這一點。權(quán)力贏得選舉�！�
“我認(rèn)為你需要Banzhaf權(quán)力指數(shù)，先生”，Penny說，“John F.Banzhaf是喬治敦大學(xué)的一位法律專家。1965年他提出了在加權(quán)投票體制中衡量代表所擁有的權(quán)力的一種方法。他的設(shè)想是，一位代表可以通過加入一個看來要輸?shù)舻穆?lián)盟使其轉(zhuǎn)敗為勝�；蛘弑硹壱粋�看來要獲勝的聯(lián)盟使其轉(zhuǎn)勝為敗而顯示其權(quán)力�！�
“這不是同一回事嗎？”
“是同一回事，先生。如果你加入一個聯(lián)盟，你同時也就背棄了由其他所有人組成的另一個聯(lián)盟。所以我們只需要考慮一種情況就夠了——比如說考慮建立一個獲勝的聯(lián)盟。假定某一位代表在聯(lián)盟中起著關(guān)鍵性的作用：有了她則聯(lián)盟贏得投票，失去她則聯(lián)盟輸?shù)敉镀�。任何一位代表的Banzhaf權(quán)力指數(shù)就是她在其中恰好起著這樣一種作用的聯(lián)盟的數(shù)目�！�
“我們原先的投票體制是一個（16；10，9，7，3，1，1）體制。獲得多數(shù)所需的票數(shù)為16票。各人代表的加權(quán)為10，9，7，3，1和1。Porkney僅能在恰好有16票的聯(lián)盟中起著關(guān)鍵作用。如果這種聯(lián)盟有更多選票，那么Porkney是否背棄它對投票結(jié)果不會有任何影響。如果其票數(shù)少于16票，則它就不是一個獲勝聯(lián)盟了。但是Porkney所屬的任何一個聯(lián)盟其選票總數(shù)均不等于16票，因此Porkney的權(quán)力指數(shù)為零。按照總統(tǒng)提出的新方案，我們將有一個（17；12，9，7，3，1，1）投票體制。Porkney在其所屬的任何一個恰好有17票的聯(lián)盟中起著關(guān)鍵作用。這種聯(lián)盟正好有一個，即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney組成的聯(lián)盟。因此，Porkney的權(quán)力指數(shù)為2�！�
“那么Sheepshire的權(quán)力指數(shù)為多少？”Perks問。
“Sheepshire有12票，因此它在它加入的任何一個擁有17票到28票（即17－1＋12票），的聯(lián)盟中起著關(guān)鍵作用。你可以通過試錯法列出這些聯(lián)盟（見圖2）。這種聯(lián)盟共有18個，因此Sheepshire的權(quán)力指數(shù)為18�！�
Hogg叫了起來：“Sheepshire的人口是我們的人口的12倍，可他們的權(quán)力卻只有我們的權(quán)力的9倍�！�
Gerry問道：“有沒有比試錯法更好的計算權(quán)力指數(shù)的方法呢？”
Penny說：“嗯，對于大的投票體系，最好的辦法是使用計算機(jī)。不過，對于小的投票體系（比如我們這一個），有一種巧妙的圖解法。假定此體系是（3；2，1，1），這就是說，有三位投票人：A，B和C。A有兩票，B和C各有一票，且3票構(gòu)成多數(shù)�！�
“首先畫出一個顯示出所有可能的聯(lián)盟的點陣圖；如果這些聯(lián)盟僅相關(guān)一個成員，則把它們用一條邊聯(lián)接起來。在每條邊上標(biāo)以非兩個聯(lián)盟所共有的那個成員。然后標(biāo)出每一條關(guān)鍵的邊——也說是總票數(shù)從低于多數(shù)票變成等于多數(shù)票或高于多數(shù)票的那些邊。任何一位成員的權(quán)力指數(shù)就是其上標(biāo)有它的名字的那些邊的數(shù)目。在這個例子中，A出現(xiàn)在3條關(guān)鍵邊上，因此它的權(quán)力指數(shù)為3；B和C則各出現(xiàn)在一條關(guān)鍵邊上，因此其權(quán)力指數(shù)均為1。這個點陣圖是個立方體。對于更大的系統(tǒng)，你也可以畫出點陣圖，但是看起來就有點零亂了。不過四個成員的點陣圖還是有點漂亮的（見圖3）�！�
Hogg說：“我希望的是每個成員擁有的權(quán)力指數(shù)大致同其人口成比例�！�
“這可不那么容易辦到”，Penny說，“讓我向你說明紐約州湯普金斯縣議會1982年是如何做到這一點的。權(quán)力指數(shù)幾乎正好與人口成比例（見圖2）�！�
“我們也可試試看”，Hogg提議說。
“或許可以吧”，總統(tǒng)慢條斯理地說，“你對美國總統(tǒng)的權(quán)力指數(shù)作過研究嗎，Penny？”
“是的，先生。美國總統(tǒng)的權(quán)力指數(shù)為一位參議員的權(quán)力指數(shù)的40倍，為一位眾議員的權(quán)力指數(shù)的175倍�！�
“這聽起來很不錯�！�
“不過美國立法機(jī)構(gòu)作為一個總體，其權(quán)力大約為總統(tǒng)的權(quán)力的兩倍半�！�
Freebie Perks盯著她有片刻，然后無所畏懼地正視著Hogg說：“我想我們會堅持現(xiàn)行的制度�！�
紐約州湯普金斯縣議會（1982年）
自治地區(qū)
人口
權(quán)重
權(quán)力指數(shù)
權(quán)力指數(shù)／人口
LANSING
DRYDEN EAST
ENFIELD & NEWFIELD
ITHACA WARD 3
ITHACA WARD 4
ITHACA SOUTHEAST
ITHACA WARD 1
ITHACA WARD 2
ITHACANORTHEAST
GROTON
CAROLINE & DANBY
ITHACA AWRD 5
ITHACA WEST
ULYSSES
DRYDEN WEST
8.317
7.604
6.776
6.550
6.002
5.932
5.630
5.378
5.235
5.213
5.203
5.172
4.855
4.666
4.552
404
333
306
398
374
470
261
246
241
240
240
238
224
214
210
4.747
4.402
3.934
3.806
3.474
3.418
3.218
3.094
3.022
3.006
3.006
2.978
2.798
2.666
2.622
0.571
0.579
0.581
0.581
0.579
0.576
0.572
0.575
0.577
0.577
0.578
0.576
0.576
0.571
0.576
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