一、課前檢測(cè)
1.在數(shù)列{an}中，an=1n+1+2n+1+…+nn+1 高中數(shù)學(xué)，又bn=2an•an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.
解：由已知得：an=1n+1(1+2+3+…+n)=n2，
bn=2n2•n+12=8(1n-1n+1) ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
Sn=8[(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1n+1)]=8(1-1n+1)=8nn+1.
2.已知在各項(xiàng)不為零的數(shù)列 中， 。
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng);
(2)若數(shù)列 滿足 ，數(shù)列 的前 項(xiàng)的和為 ，求
解：(1)依題意， ，故可將 整理得：
所以 即
，上式也成立，所以
(2)
二、梳理
(一)前n項(xiàng)和公式Sn的定義：Sn=a1+a2+…an。
(二)數(shù)列求和的(共8種)
5.錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列(如果 等差， 等比，那么 叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以 的公比 ，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。
如：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.
解讀：
6.累加(乘)法
解讀：
7.并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.
形如an=(-1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求。
解讀：
8.其它方法：歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等。
解讀：
三、典型例題分析
題型1 錯(cuò)位相減法
例1 求數(shù)列 前n項(xiàng)的和.
解：由題可知{ }的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{ }的通項(xiàng)之積
設(shè) ①
② (設(shè)制錯(cuò)位)
①-②得 (錯(cuò)位相減)
∴
變式訓(xùn)練1 (2010•昌平模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3， ①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=n-13. ②
①-②得3n-1an=13，an=13n.
在①中，令n=1，得a1=13，適合an=13n， ∴an=13n.
(2)∵bn=nan，∴bn=n3n.
∴Sn=3+2×32+3×33+…+n 3n， ③
∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n 3n+1. ④
④-③得2Sn=n 3n+1-(3+32+33+…+3n)，
即2Sn=n 3n+1-3(1-3n)1-3， ∴Sn=(2n-1)3n+14+34.
小結(jié)與拓展：
題型2 并項(xiàng)求和法
例2 求 =1002-992+982-972+…+22-12
解： =1002-992+982-972+…+22-12=(100+ 99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.
變式訓(xùn)練2 數(shù)列{(-1)n•n}的前2010項(xiàng)的和S2 010為( D )
A.-2010 B.-1005 C.2010 D.1005
解：S2 010=-1+2-3+4-5+…+2 008-2 009+2 010
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(2 010-2 009)=1 005.
小結(jié)與拓展：
題型3 累加(乘)法及其它方法：歸納、猜想、證明;周期數(shù)列的求和等等
例3 (1)求 之和.
(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn= (n∈N*)，
，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn中最大的一項(xiàng)是( D )
A.S6 B.S5 C.S4 D.S3
解：(1)由于 (找通項(xiàng)及特征)
∴ = (分組求和)= =
=
(2)D.
變式訓(xùn)練3 (1)(2009福州八中)已知數(shù)列 則 , 。答案：100. 5000。
(2)數(shù)列 中， ，且 ，則前2010項(xiàng)的和等于( A )
A.1005 B.2010 C.1 D.0
小結(jié)與拓展：
四、歸納與總結(jié)(以為主，師生共同完成)
以上一個(gè)8種方法雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使
其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。
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