2018-2019學年福建省泉州市惠安縣九年級（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1．（4分）下列根式是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列計算正確的是（ �。�
A． B． C． D．
3．（4分）方程x2?16=0的解是（ �。�
A．x=4 B．x1=4，x2=?4 C．x=8 D．x1=8，x2=?8
4．（4分）一元二次方程x2?6x?6=0配方后化為（ �。�
A．（x?3）2=15 B．（x?3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
5．（4分）順次連結矩形各邊的中點所得的四邊形是（ �。�
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形
6．（4分）若 = ，則 的值為（ �。�
A．1 B． C． D．
7．（4分）如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
8．（4分）某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由56 0元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（ �。�
A．560（1+x）2=315 B．560（1?x）2=315 C．560（1?2x）2=315 D．560（1?x2）=315
9．（4分）如圖，點D在△ABC的邊AC上，若CD=2，AC=6，且△CDB∽△CBA，則BC的值為（ �。�
A．3 B．2 C．6 D．12
10．（4分）已知P=x2?3x，Q=x?5（x為任意實數(shù)），則P、Q的大小關系為（ �。�
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．無法確定
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）代數(shù)式 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 �。�
12．（4分）如果兩個相似三角形對應高的比是3：2，那么它們的面積比是 �。�
13．（4分）如果一個4米高的旗桿在太陽光下的影長為6 米，同它臨近的一個建筑物的影長是24米，那么這個建筑物的高度是 米
14．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2+2x?1=0的兩個根，則（x1+1）（x2+1）的值是 �。�
15．（4分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F，若AB=1，BC=3，DE=2，則DF的長為 ．
16．（4分）如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點E，∠BED的平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC= ．（結果保留根號）
三、解答題（共86分）
17．（8分）計算： ÷ + × ?
18．（8分）先化簡，再求值：（1? ）÷ ，其中a= +1
19．（8分）用配 方法解方程：3x2?6x+2=0．
20．（8分）為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．此時如果測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB．
21．（8分）如圖，在方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點A的坐標為 （?3，5）．
（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以點A為位似中心，將△ABC放大到2倍得到△A2B2C2，并直接寫出點C2的坐標．
22．（10分）已知關于x的方程x2+2x+a?2=0．
（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根．
23．（10分）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．設每件商品降價x元．據(jù)此規(guī)律，請回答：
（1）商場日銷售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？
24．（13分）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始順時針方向旋轉，PM交邊AB于點E，PN交邊AD于點F，當PE旋轉至PA處時，∠MPN的旋轉隨即停止．
（1）如圖2，在旋轉中發(fā)現(xiàn)當PM經(jīng)過點A時，PN也經(jīng)過點D，求證：△ABP∽△PCD；
（2）如圖3，在旋轉過程中， 的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）設AE=m，連結EF，則在旋轉過程中，當m為何值時，△BPE與△PEF相似．
25．（13分）如圖，已知一次函數(shù)y=?x+7與正比例函數(shù)y= x的圖象交于點A，且與x軸交于點B，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發(fā)，沿O→C→A的路線以每秒1個單位的速度向點A運動；同時點R從點B出發(fā)，以相同的速度向點O運動，在運動過程中，過點R作直線l⊥x軸，交線段AB或AO于點Q．當點P到達點A時，點P 和點R都停止運動．在運動過程中，設動點P的運動時間為t秒（t＞0）
（1）求點A與點B的坐標；
（2）若點P在線段OC上運動，當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
（3）若點P線段CA上運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
2018-2019學年福建省泉州市惠安縣九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題4分，共40分）
1．（4分）下列根式 是最簡二次根式的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、 =2 ，此選項不符合題意；
B、 = ，此選項不符合題意；
C、 = ，此選項不符合題意；
D、 是最簡二次根式，此選項符合題意；
故選：D．
2．（4分）下列計算正確的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、 =3，此選項錯誤；
B、 =2，此選項正確；
C、 + =2 ，此選項錯誤；
D、 + = + ，此選項錯誤．
故選：B．
3．（4分）方程x2?16=0的解是（ �。�
A．x=4 B．x1=4，x2=?4 C．x=8 D．x1=8，x2=?8
【解答】解：x2?16=0
x2 =16，
∴x=±4，
∴x1=?4，x2=4，
故選：B．
4．（4分）一元二次方程x2?6x?6=0配方后化為（ ）
A．（x?3）2=15 B．（x?3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
【解答】解：方程整理得：x2?6x=6，
配方得：x2?6x+9=15，即（x?3）2=15，
故選：A．
5．（4分）順次連結矩形各邊的中點所得的四邊形是（ �。�
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形
【解答】解：如圖，連接AC、BD，
∵E、F、G、H分別是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD邊上的中點，
∴EF=GH= AC，F(xiàn)G=EH= BD（三角形的中位線等于第三邊的一半），
∵矩形ABCD的對角線AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四邊形EFGH是菱形．
故選：B．
6．（4分）若 = ，則 的值為（ �。�
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵ = ，
∴設x=3k，y=4k，
∴ = = ．
故選：D．
7．（4分）如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（ �。�
A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【解答】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
選項B中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，
故選：B．
8．（4分）某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（ �。�
A．560（1+x）2=315 B．560（1?x）2=315 C．560（1?2x）2=315 D．560（1?x2）=315
【解答】解：設每次降價的百分率為x，由題意得：
560（1?x）2=315，
故選：B．
9．（4分）如圖，點D在△ABC的邊AC上，若CD=2，AC=6，且△CDB∽△CBA，則BC的值為（ �。�
A．3 B．2 C．6 D．12
【解答】解：∵△CDB∽△CBA，
∴CD：CB=CB：CA，
∴BC2=CD•CA=2×6=12．
∴BC=2 ，
故選：B．
10．（4分）已知P=x2?3x，Q=x?5（x為任意實數(shù)），則P、Q的大小關系為（ �。�
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．無法確定
【解答】解：P?Q=x2?3x?x+5
=x2?4x+5
=（x?2）2+1≥1
∴P＞Q
故選：A．
二 、填空題（每小題4分，共24分）
11．（4分）代數(shù)式 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 x≥3�。�
【解答】解：∵代數(shù)式 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
∴x?3≥0，
解得：x≥3，
∴x的取值范圍是：x≥3．
故答案為：x≥3．
12．（4分）如果兩個相似三角形對應高的比是3：2，那么它們的面積比是 9：4�。�
【解答】解：∵兩個相似三角形對應高的比是3：2，
∴它們的相似比是3：2，
∴它們的面積比是9：4．
故答案為：9：4．
13．（4分）如果一個4米高的旗桿在太陽光 下的影長為6米，同它臨近的一個建筑物的影長是24米，那么這個建筑物的高度是 16 米
【解答】解：設建筑物的高為h米，由題意可得：
則4：6=h：24，
解得：h=16（米）．
故答案為：16．
14．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2+2x?1=0的兩個根，則（x1+1）（x2+1）的值是 ?2 ．
【解答】解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+2x?1=0的兩個根，
∴x1+x2=?2，x1x2=?1，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=?1+（?2）+1=?2，
故答案為：?2．
15．（4分）如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F，若AB=1，BC=3，DE=2，則DF的長為 8 ．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∴ ，
∴EF=6，
∴DF=EF+DE=8，
故答案為：8；
16．（4分）如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點E，∠BED的平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF =2FC，則BC= ．（結果保留根號）
【解答】解：延長EF和BC，交于點G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分線BE與AD交于點E，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE= = ，
又∵∠BED的角平分線EF與DC交于點F，
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC
∴
設CG=x，DE=2x，則AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴ =9+2x+x
解得x=
∴BC=9+2（ ?3）=
故答案為：
三、解答題（共86分）
17．（8分）計算： ÷ + × ?
【解答】解：原式=4+ ?
=4+2 ?3
=4?
18．（8分）先化簡，再求值：（1? ）÷ ，其中a= +1
【解答】解：原式= ÷
= •
= ，
當a= +1時，
原式= = = ．
19．（8分）用配方法解方程：3x2?6x+2=0．
【解答】解：移項，得
3x2?6x=?2，
二次項系數(shù)化為1，得
x2?2x=? ，
配方，得
（x?1）2= ，
開方，得
x1= ，x2= ．
20．（8分）為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．此時如果測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB．
【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴ ， ，
解得= （米）．
答：兩岸間的大致距離為100米．
21．（8分）如圖，在方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點A的坐標為 （?3，5）．
（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）以點A為位似中心，將△ABC放大到2倍得到△A2B2C2，并直接寫出點C2的坐標．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，點C2的坐標為（1，?3）．
22．（10分）已知關于x的方程x2+2x+a?2=0．
（1）若該方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當該方程的一個根為1時，求a的值及方程的另一根．
【解答】解：（1）∵b2?4ac=（2）2?4×1×（a?2）=12?4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范圍是a＜3；
（2）設方程的另一根為x1，由根與系數(shù)的關系得：
，
解得： ，
則a的值是?1，該方程的另一根為?3．
23．（10分）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．設每件商品降價x元．據(jù)此規(guī)律，請回答：
（1）商場日銷售量增加 2x 件，每件商品盈利�。�50?x） 元（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）在上述條件不變、銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到2100元？
【解答】解：（1） 降價1元，可多售出2件，降價x元，可多售出2x件，盈利的錢數(shù)=50?x，故答案為2x；50?x；
（2）由題意得：（50?x）（30+2x）=2100（0≤x＜50）
化簡得：x2?35x+300=0，即（x?15）（x?20）=0，
解得：x1=15，x2=20
∵該商場為了盡快減少庫存，
∴降的越多，越吸引顧客，
∴選x=20，
答：每件商品降價20元，商場日盈利可達2100元．
24．（13分）如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，將∠MPN繞點P從PB處開始順時針方向旋轉，PM交邊AB于點E，PN交邊AD于點F，當PE旋轉至PA處時，∠MPN的旋轉隨即停止．
（1）如圖2，在旋轉中發(fā)現(xiàn)當PM經(jīng)過點A時，PN也經(jīng)過點D，求證：△ABP∽△PCD；
（2）如圖3，在旋轉過程中， 的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）設AE=m，連結EF，則在旋轉過程中，當m為何值時，△BPE與△PEF相似．
【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠CPD+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PC D；
（2） 的值為定值．
如圖，過點F作FG⊥BC于G，
∴∠FGP=90°，
∴∠FGP=∠B，∠PFG+∠FPG=90°，
易知四邊形ABGF是矩形，
∴FG=AB=2，
∵∠MPN=90°，
∴∠EPB+∠FPG=90°，
∴∠EPB=∠FPG，
∴△EBP∽△PGF，
∴ = = ，
∴ 的值是定值，該定值為 ；
（3）∵AE=m，
∴BE=2?m，
①當 時，∵∠B=∠EPF=90°，
∴△BPE∽△PFE，
∴ ，
∴ ，
∴m= ；
②當 時，∵∠B=∠EPF=90°，
∴△BPE∽△PEF，
∴ ，
∴ ，
∴m=0，
綜上，當m=0或 時，△BPE與△PEF相似．
25．（13分）如圖，已知一次函數(shù)y=?x+7與正比例函數(shù)y= x的圖象交于點A，且與x軸交于點B，過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l∥y軸．動點P從點O出發(fā)，沿O→C→A的路線以每秒1個單位的速度向點A運動；同時點R從點B出發(fā)，以相同的速度向點O運動，在運動過程中，過點R作直線l⊥x軸，交線段AB或AO于點Q．當點P到達點A時，點P 和點R都停止運動．在運動過程中，設動點P的運動時間為t秒（t＞0）
（1）求點A與點B的坐標；
（2）若點P在線段OC上運動，當t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？
（3）若點P線段CA上運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=?x+7與正比例函數(shù)y= x的圖象交于點A，且與x軸交于點B．
∴ ，
解得： ，
∴A點坐標為：（3，4）；
∵y=?x+7=0，
解得：x=7，
∴B點坐標為：（7，0）．
（2）①當P在OC上運動時，0≤t＜4時，PO=t，PC=4?t，BR=t，OR=7?t，
∵當以A、P、R為頂點的三角形的面積為8，
∴S梯形ACOB?S△ACP?S△POR?S△ARB=8，
∴ （AC+BO）×CO? AC×CP? PO×RO? AM×BR=8，
∴（AC+BO）×CO?AC×CP?PO×RO?AM×BR=16，
∴（3+7）×4?3×（4?t）?t×（7?t）?4t=16，
∴t2?8t+12=0，
解得：t1=2，t2=6（舍去），
當t=4時，無法構成三角形，
當4＜t＜7時，S△APR= AP×OC=2（7?t）=8，解得t=3，不符合4＜t＜7；
綜上所述，當t=2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8；
②存在．延長CA到直線l交于一點D，當l與AB相交于Q，
∵一次函 數(shù)y=?x+7與x軸交于（7，0）點，與y軸交于（0，7）點，
∴NO=OB，
∴∠OBN=∠ONB=45°，
∵直線l∥y軸，
∴RQ=RB，CD⊥L，
當0≤t＜4時，如圖1，
RB=OP=QR=t，DQ =AD=（4?t），AC=3，PC=4?t，
∵以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則AP=AQ，
∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，
∴9+（4?t）2=2（4?t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去），
當AP=PQ時 32+（4?t）2=（7?t）2，
解得t=4 （舍去）
當PQ=AQ時，2（4?t）2=（7?t）2，
解得t1=1+3 （舍去），t2=1?3 （舍去），
當t=4時，無法構成三角形，
當4＜t＜7時，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4，
設直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t?4，AP=7?t，
由cos∠OAC= = ，
得AQ= （t?4），
若AQ=AP，則 （t?4）=7?t，解得t= ，
當AQ=PQ時，AE=PE， 即AE= AP，
得t?4= （7?t），
解得：t=5，
當AP=PQ時，過P作PF⊥AQ于F，
AF= AQ= × （t?4），
在Rt△APF中，由cos∠PAF= = ，
得AF= AP，
即 × （t?4）= （7?t），
解得：t= ．
綜上所述，當t=1、5、 、 秒時，存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．
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