第十講 全等三角形
全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切�、四邊形等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形，可以證明線 段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題 ．
利用全等三角形證明問(wèn)題，關(guān)鍵在于從復(fù)雜的圖形中找到一對(duì)基礎(chǔ)的三角形，這對(duì)基礎(chǔ)的三角形從實(shí)質(zhì)上來(lái)說(shuō)，是由三角形全等判定定理中的一對(duì)三角形變位而來(lái)，也可能是由幾對(duì)三角形組成，其間的關(guān)系互相傳遞，應(yīng)熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形：
例題求解
【例1】 如圖，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，給出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正確的結(jié)論是 (把你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)填上)． (廣州市中考題)
思路點(diǎn)撥 對(duì)一個(gè)復(fù)雜的圖形，先找出比較明顯的一對(duì)全等三角形，并發(fā)現(xiàn)有用的條件，進(jìn)而判斷推出其他三角形全等．
注 兩個(gè)三角形的全等是指兩個(gè)圖形之間的一種‘對(duì)應(yīng)”關(guān)系，“對(duì)應(yīng)’兩字，有“相當(dāng)”、“相應(yīng)”的含意，對(duì)應(yīng)關(guān)系是按一定標(biāo)準(zhǔn)的一對(duì)一的關(guān)系，“互相重合”是判斷其對(duì)應(yīng)部分的標(biāo)準(zhǔn)．
實(shí)際遇到的圖形，兩個(gè)全等三角形并不重合在一起，但其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形按平行移動(dòng)、翻拆、旋轉(zhuǎn)等方法得到，這種改變位置，不改變形狀大小的圖形變動(dòng)叫三角形的全等變換．
【例2】 在△ABC中，AC＝5，中線AD ＝4，則邊AB的取值范圍是( )
A．1
思路點(diǎn)撥 線段AC、AD、AB不是同一個(gè)三角形的三條邊，通過(guò)中線倍長(zhǎng)將分散的條件加以集中．
【例3】 如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP＝A C，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB
求證：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．
(江蘇省競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 (1)證明對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等；(2)在(1)的基礎(chǔ)上，證明∠PAQ=90°
【例4】 若兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，試判斷這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
( “五羊杯”競(jìng)賽題改編題)
思路點(diǎn)撥 運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)，探討兩角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由高的特殊性，分三角形的形狀討論．
注 有時(shí)圖中并沒(méi)有直接的全等三角形，，需要通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形，完成恰當(dāng)添輔助線的任務(wù)，我們的思堆要經(jīng)歷一個(gè)觀察、聯(lián)想、構(gòu)造的過(guò)程．
邊 、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素，從以上諸元素中選取三個(gè)條件使之組合可得到關(guān)于三角形全等判定的若干命題，其中有真有假，課本中全等三角形的判定方法只涉及邊、角兩類元素．
【例5】 如圖，已知四邊形紙片ABCD中，AD∥ BC，將∠ABC、∠DAB分別對(duì)折，如果兩條折痕恰好相交于DC上一點(diǎn)E，你能獲得哪些結(jié)論?
思路點(diǎn)撥 折痕前后重合的部分是全等的，從線段關(guān)系、角的關(guān)系、面積關(guān)系等不同方面進(jìn)行探索，以獲得更多的結(jié)論．
注 例5融操作、觀察、猜想、推理于一體，需要一定的綜合能力．推理論證既是說(shuō)明道理，也是探索、發(fā)現(xiàn)的逄徑．
善于在 復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，需要注的是，通常面臨以下情況時(shí)，我們才考慮構(gòu)造全等三角形：
(1)給出的圖形中沒(méi)有全等三角形，而證明結(jié)論需要全等三角形；
(2)從題設(shè)條件無(wú)法證明圖形中的三角形全等，證明需要另行構(gòu)造全等三角形．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C邊上的高，且AB= A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，請(qǐng)你補(bǔ)充條件(只需要填寫一個(gè)你
認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件) ． (黑龍江省中考題)
2．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列4個(gè)論斷：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，請(qǐng)以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題(用序號(hào)○○○→○的形式寫出) ． (海南省中考題)
3．如圖，把大小為4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形，例如圖1．請(qǐng)?jiān)谙聢D 中，沿著虛線畫出四種不同的分法，把4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形．
4．如圖，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，則∠DOE的度數(shù)是 ．
5．如圖，已知OA=OB，OC=OD，下列結(jié)論中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③連OE，則OE平分∠O，正確的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．如圖，A在DE上，F(xiàn)在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，則DE的長(zhǎng)等于( )
A．DC B． BC C．AB D．AE+AC (2003年武漢市選拔賽試題)
7．如圖，AE∥CD， AC∥DB，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有( )對(duì)
A．5 B．6 C． 7 D．8
8．如圖，把△A BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于點(diǎn)D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度數(shù)． (貴州省中考題)
9．如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下4個(gè)論斷：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3個(gè)論斷為題設(shè)，填人下面的“已知”欄中，一個(gè)論斷為結(jié)論，填人下面的“求證”欄中，使之組成一個(gè)真命題，并寫出證明過(guò)程．
已知：
求證：
(荊州市中考題)
10．如圖，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交B C延長(zhǎng)線于M，
求證：∠M= （∠ACB－∠B）． (天津市競(jìng)賽題)
11．在△ABC中，高AD和BE交于H點(diǎn)，且BH＝AC，則∠ABC＝ ．
12．如圖，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED ．
(河南省競(jìng)賽題)
13．如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交A C于點(diǎn)F，給出3個(gè)論斷：①DE=FE；②AE＝CE；③FC∥AB，以其中一個(gè)論斷為結(jié)論，其余兩個(gè) 論斷為條件，可作出3個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ．
(武漢市選拔賽試題)
14．如圖，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2 ，那么AB= ．
15．如圖，在△ABC中，AD是∠A的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點(diǎn)，設(shè)PB＝m，PC＝n，AB=c，AC=b，則（m+n）與(b+c)大小關(guān)系是( )
A．m+n> b+c B． m+n
C．AB—AD
17．考查下列命題( )
(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對(duì)應(yīng)相等；
(2)兩邊和其中一邊上的中線(或第三邊上的中線)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；
(3)兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；
(4)兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
其中正確命題的個(gè)數(shù)有( )
A．4個(gè) B．3個(gè) C． 2個(gè) D．1個(gè)
18．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過(guò)C作CE⊥AB于E，并且AE= (AB+AD)，求∠ABC+∠ADC的度數(shù)． (上海市競(jìng)賽題)
19．如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
20．如圖，已知AB=CD=AE＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五邊形ABCDC的面積．
(江蘇省競(jìng)賽題)
21．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AF+CD．
(武漢市選拔賽試題)
22．(1)已知△ABC和△A′B′C′中，AB= A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′=100°，求證：△ABC≌△A′B′C′；
(2)上問(wèn)中，若將條件改為AB＝A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C ′=70°，
結(jié)論是否成立?為什么?
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